Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 1i

Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

int int_B f (x , y) d x d y

Ou:

int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) f (x , y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) f (x , y) d y] d x

Neste caso, B lembra a equação de um círculo e, logo, deve envolver coordenadas polares na mudança de variável. Então, deve-se reorganizar a equação na forma convencional para representar um círculo:

x^2 + y^2 = r^2

Para tanto, deve-se completar quadrados:

x^2 - x + y^2 = 0 -> x^2 - x + y^2 + (1)/(4) = (1)/(4)

(x - (1)/(2))^2 + y^2 = ((1)/(2))^2

E, portanto:

x - (1)/(2) = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[c,o,s,theta,-,rho,s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = rho

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = rho

Portanto:

d x d y = rho d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um círculo de raio r = 1 // 2 de uma volta completa, então as novas variáveis serão dadas por:

0 <= rho <= (1)/(2)

E

0 <= theta <= 2 pi

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= (1)/(2) e 0 <= theta <= 2 pi}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B x d x d y = int int_B_rho theta ((1)/(2) + rho c o s theta) rho d rho d theta

int_0^(2 pi) [int_0^(1 // 2) [(1)/(2) rho + rho^2 c o s theta] d rho] d theta

E, resolvendo-a:

int_0^(2 pi) [(rho^2)/(4) + (rho^3)/(3) c o s theta] | [[1,//,2],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

int_0^(2 pi) [(1)/(16) + (1)/(24) c o s theta] d theta

Passo 4

Então:

= [(1)/(16) theta + (s e n (theta))/(24)] | [[2,pi],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

(1)/(16) [2 pi] = (pi)/(8)

Resposta

(pi)/(8)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla. ∬ D a x 3 + b y 3 + a 2 - x 2 d A ,D = - a , a × - b , b
Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla. ∬ D 2 + x 2 y 3 - y 2 sen ⁡ x d A ,D = x , y | x + y ≤ 1
Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla. ∬ D x + 2 d A ,D = x , y | 0 ≤ y ≤ 9 - x 2
Calcule a integrais iteradas. ∫ 0 1 ∫ y 2 - x ( x 2 - y ) d yd x
Calcule a integrais iteradas.int_0^1 int_y^(e^y) sqrt(x) d x d y