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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 1a

Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

int int_B f (x , y) d x d y

Ou:

int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) f (x , y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) f (x , y) d y] d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um círculo e, logo, deve envolver coordenadas polares na mudança de variável. Então, fazendo:

x = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[c,o,s,theta,-,rho,s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = rho

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = rho

Portanto:

d x d y = rho d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um círculo de raio r = 2 de uma volta completa, então as novas variáveis serão dadas por:

0 <= rho <= 2

E

0 <= theta <= 2 pi

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= 2 e 0 <= theta <= 2 pi}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B (x^2 + 2 y) d x d y = int int_B_rho theta (rho^2 c o s^2 theta + 2 rho s e n theta) rho d rho d theta

int_0^(2 pi) [int_0^2 (rho^3 c o s^2 theta + 2 rho^2 s e n theta) d rho] d theta

E, resolvendo-a:

int_0^(2 pi) [(rho^4)/(4) c o s^2 theta + (2 rho^3)/(3) s e n theta] | [[2],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

int_0^(2 pi) [(16)/(4) c o s^2 theta + (16)/(3) s e n theta] d theta

Passo 4

Lembrando a identidade trigonométrica

c o s^2 (n x) = (1 + cos (2 n x))/(2)

Então:

int_0^(2 pi) [4 ((1 + cos (2 theta))/(2)) + (16)/(3) s e n theta] d theta

int_0^(2 pi) [2 + 2 cos (2 theta) + (16)/(3) s e n theta] d theta

[2 theta + s e n (2 theta) - (16)/(3) c o s theta] | [[2,pi],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

[4 pi - (16)/(3) cos (2 pi) - (- (16)/(3) cos (0))] = 4 pi

Resposta

4 pi

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