Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 1c

Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

int int_B f (x , y) d x d y

Ou:

int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) f (x , y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) f (x , y) d y] d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um círculo e, logo, deve envolver coordenadas polares na mudança de variável. Então, fazendo:

2 x = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[(1)/(2),c,o,s,theta,-,(rho)/(2),s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = (rho)/(2) (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = (rho)/(2)

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = (rho)/(2)

Portanto:

d x d y = (rho)/(2) d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é uma elipse de raios a <= 1 // 2 e b <= 1 de uma volta completa, então as novas variáveis serão dadas por:

0 <= rho <= 1

E

0 <= theta <= 2 pi

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= 1 e 0 <= theta <= 2 pi}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B x^2 d x d y = int int_B_rho theta ((rho^2)/(4) c o s^2 theta) (rho)/(2) d rho d theta

int_0^(2 pi) [(1)/(8) c o s^2 theta int_0^1 rho^3 d rho] d theta

E, resolvendo-a:

int_0^(2 pi) (1)/(8) c o s^2 theta [(rho^4)/(4)] | [[1],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

int_0^(2 pi) (1)/(8) c o s^2 theta [(1)/(4)] d theta

(1)/(32) int_0^(2 pi) [c o s^2 theta] d theta

Passo 4

Lembrando da identidade trigonométrica:

c o s^2 (n x) = (1 + cos (2 n x))/(2)

Então:

(1)/(32) int_0^(2 pi) [(1 + cos (2 theta))/(2)] d theta = (1)/(64) [theta + (s e n (2 theta))/(2)] | [[2,pi],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

(1)/(64) [2 pi] = (pi)/(32)

Resposta

(pi)/(32)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral dupla. ∬ D ( 2 x - y ) d A , Déd e l i m i t a d ap e l oc i r c u l oc o mc e n t r on ao r i g e mer a i o2 é
Calcule a integral dupla.∬_D^() y^2 d A , D é a r e g i ã o t r i a n g u l a r c o m v é r t i c e s (0,1) , (1,2) , ( 4,1 ) é ã é
∫ 0 4 ∫ 0 y - x y 2 d x d y
Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla ∬ D 2 + x 2 y 3 + y 2 sen ⁡ x d A D = x , y |x ≤ y ≤ 1 .
Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil ∬ D y 2 e x y d A D é limitada por y = x