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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 1c

Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

int int_B f (x , y) d x d y

Ou:

int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) f (x , y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) f (x , y) d y] d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um círculo e, logo, deve envolver coordenadas polares na mudança de variável. Então, fazendo:

2 x = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[(1)/(2),c,o,s,theta,-,(rho)/(2),s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = (rho)/(2) (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = (rho)/(2)

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = (rho)/(2)

Portanto:

d x d y = (rho)/(2) d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é uma elipse de raios a <= 1 // 2 e b <= 1 de uma volta completa, então as novas variáveis serão dadas por:

0 <= rho <= 1

E

0 <= theta <= 2 pi

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= 1 e 0 <= theta <= 2 pi}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B x^2 d x d y = int int_B_rho theta ((rho^2)/(4) c o s^2 theta) (rho)/(2) d rho d theta

int_0^(2 pi) [(1)/(8) c o s^2 theta int_0^1 rho^3 d rho] d theta

E, resolvendo-a:

int_0^(2 pi) (1)/(8) c o s^2 theta [(rho^4)/(4)] | [[1],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

int_0^(2 pi) (1)/(8) c o s^2 theta [(1)/(4)] d theta

(1)/(32) int_0^(2 pi) [c o s^2 theta] d theta

Passo 4

Lembrando da identidade trigonométrica:

c o s^2 (n x) = (1 + cos (2 n x))/(2)

Então:

(1)/(32) int_0^(2 pi) [(1 + cos (2 theta))/(2)] d theta = (1)/(64) [theta + (s e n (2 theta))/(2)] | [[2,pi],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

(1)/(64) [2 pi] = (pi)/(32)

Resposta

(pi)/(32)

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