O período de um pêndulo com comprimento que faz um ângulo máximo com a vertical é

onde e é a aceleração da gravidade.

(a) Expanda o integrando com uma série binomial e use o resultado do Exercício da Seção , no Volume , para mostrar que

Se não for muito grande, a aproximação , obtida ao se usar o primeiro termo da série, é frequentemente utilizada. Uma aproximação melhor seria obtida pelos dois primeiros termos:

(b) Observe que todos os termos da série, com exceção do primeiro, têm coeficientes que são, no máximo, . Use esse fato para comparar esta série com a série geométrica e mostre que

(c) Use as desigualdade em (b) para estimar o período de um pêndulo com metro e . Como isso se compara com a estimativa ? O que aconteceria se ?

Show! Agora estamos prontos pra resolver a integral e vamos usar o seguinte resultado mencionado no enunciado:

(b) Galera, já sabemos que a inequação é verdadeira pois a série que representa só possui termos positivos, e em , pegamos apenas os dois primeiros termos. Pra provar a outra inequação, veja o seguinte:

Podemos escrever isso porque todos os termos da série, exceto o primeiro, têm coeficientes que são, no máximo, . Agora vamos escrever parte disso como a soma de uma série geométrica de primeiro termo e razão :

Então,

(c) Pessoal, se substituirmos , e na inequação do item anterior, chegaremos a:

Então podemos dizer que . Usando a outra estimativa, teríamos:

Agora, pra , teríamos e a inequação ficaria assim:

de modo que diríamos . E isso difere bem mais da outra estimativa , pois esta é melhor para ângulos pequenos.