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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 28

Suponha que a densidade do fio no Exemplo 4 seja δ = 1 + k cos ⁡ θ ( k constante). Determine o centro da masssa.

Passo 1

M x = ∫ y ~ d m =   ∫ 0 π a   s e n   θ ⋅ δ ⋅ a   d θ

Assim substituindo na integral:

M x = ∫ 0 π a   s e n   θ ⋅ 1 + k cos ⁡ θ ⋅ a   d θ

M x = ∫ 0 π a 2 s e n θ ⋅ ( 1 + k cos ⁡ θ d θ = a 2 ∫ 0 π s e n   θ ⋅ 1 + k cos ⁡ θ d θ

Para resolver esta integral teremos que reestruturar seus limites de integração, pois senão obteríamos a área igual 0.

M x = a 2 ∫ 0 π 2 s e n   θ 1 + k cos ⁡ θ d θ + ∫ π 2 π ( s e n   θ ) ( 1 - k cos ⁡ θ d θ

M x = a 2 ∫ 0 π 2 s e n θ + k   s e n θ cos ⁡ θ d θ + ∫ π 2 π s e n   θ - k   s e n   θ cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Separando as integrais:

M x = a 2 ∫ 0 π 2 s e n θ   d θ + ∫ 0 π 2 k ⋅ s e n   θ ⋅ cos ⁡ θ   d θ + ∫ π 2 π s e n   θ   d θ - ∫ π 2 π k ⋅ s e n θ ⋅ cos ⁡ θ   d θ

Resolvendo algumas das integrais, que podem ser realizadas utilizando tabela de integrais trigonométricas:

M x = a 2 - cos ⁡ θ + k ∫ s e n θ ⋅ cos ⁡ θ   d θ 0 π 2 + - cos ⁡ θ - k ∫ s e n   θ cos ⁡ θ   d θ π 2 π

Vamos resolver separadamente a integral:

k ∫ s e n θ ⋅ c o s θ d θ

Utilizando a substituição u d u

u = s e n   θ

d u = cos ⁡ θ   d x

d x = 1 cos ⁡ θ d u

k ∫ 1 cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ ⋅ s e n θ   d θ = k ∫ u   d u = k u 2 2 = k s e n 2 x 2

Substituindo nas integrais o que encontramos:

M x = a 2 - cos ⁡ θ + k s e n 2 x 2 0 π 2 + - cos ⁡ θ - k s e n 2 x 2 π 2 π

Passo 3

Resolvendo os limites de integração:

M x = a 2 - cos ⁡ π 2 + k s e n 2 π 2 2 - - cos ⁡ 0 + k s e n 2 0 2 + - cos ⁡ π - k s e n 2 π 2 - - cos ⁡ π 2 - k s e n 2 π 2 2

Resolvendo teremos:

M x = a 2 - 0 + k 1 2 - - 1 + k 0 2 + - - 1 - k 0 2 - - 0 - k 1 2

M x = a 2 k 2 + 1 + 1 + k 2

Realizando as somas:

M x = a 2 k + 2

Passo 4

Agora precisamos encontrar M y

M y = ∫ x ~   d m =   ∫ 0 π a ⋅ cos ⁡ θ 1 + k cos ⁡ θ d θ

M y = ∫ 0 π a 2 cos ⁡ θ ⋅ 1 + k cos ⁡ θ   d θ    

Assim como no cálculo de M x organizaremos os limites de integração e organizaremos, observe:

M y = a 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ ⋅ ( 1 + k cos ⁡ θ   d θ + ∫ π 2 π cos ⁡ θ ⋅ 1 - k | cos ⁡ θ | d θ

Resolvendo as multiplicações:

M y = a 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ + k cos 2 ⁡ θ   d θ +   ∫ π 2 π cos ⁡ θ - k cos 2 ⁡ θ   d θ  

Separando as integrais pela regra de sinais:

M y = a 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ   d θ + k ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ + ∫ π 2 π cos ⁡ θ   d θ - k ∫ π 2 π cos 2 ⁡ θ   d θ

Utilizaremos a identidade trigonométrica: cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ ( 2 θ ) 2

Utilizando a tabela de integrais trigonométricas, temos também que: ∫ cos ⁡ θ   d θ = s e n   θ

Substituindo teremos:

M y = a 2 s e n   θ + k   ∫ 1 + cos ⁡ ( 2 θ ) 2 d θ 0 π 2 + s e n   θ - k   ∫ 1 + cos ⁡ ( 2 θ ) 2 d θ π 2 π  

M y = a 2 s e n   θ + k 2   ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ 0 π 2 + s e n   θ - k 2   ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ π 2 π  

Passo 5

Resolvendo aintegral:

k 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = k 2 ∫ 1   d θ + ∫ cos ⁡ 2 θ   d θ

k 2 θ + ∫ cos ⁡ 2 θ d θ

Utilizando substituição u d u

u = 2 θ

d u = 2   d θ

d θ = 1 2 d u

k 2 θ + ∫ cos ⁡ u ⋅ 1 2 d u = k 2 θ + 1 2 ∫ cos ⁡ u d u   = k 2 θ + 1 2 s e n   u ⇒ k 2 θ + 1 2 s e n ( 2 θ )

Substituindo na integral teremos:

M y = a 2 s e n   θ + k 2   θ + s e n ( 2 θ ) 2 0 π 2 + s e n   θ - k 2   θ + s e n 2 θ 2 π 2 π  

Substituindo os limites de integração:.

M y = a 2 s e n π 2 + k 2 π 2 + s e n   2 ⋅ π 2 2 - s e n   0 + k 2 0 + s e n   0 2 + s e n   π - k 2 π + s e n   2 π 2 - s e n   π 2 - k 2 π 2 + s e n 2 ⋅ π 2 2

Resolvendo as expressões que temos:

M y = a 2 1 + k 2 π 2 + 0 2 - 0 + k 2 0 + 0 2 + 0 - k 2 π + 0 2 - 1 - k 2 π 2 + 0 2

Deste modo:

M y = a 2 1 + k π 4 - 0 + - k π 2 - 1 + k π 4

M y = a 2 1 + k π 4 - k π 2 - 1 + k π 4

Assim poderemos simplificar as expressões:

M y = a 2 2 k π 4 - k π 2 + 0 ⇒ a 2 k π 2 - k π 2 ⇒ a 2 0

Assim:

M y = 0

Passo 6

Neste passo encontraremos o valor de M

Assim temos que:

M =   ∫ 0 π δ ⋅ a   d θ = a ∫ 0 π 1 + k cos ⁡ θ d θ

Resolveremos a integral separando os limites de integração, igual foi feito nos passos anteriores:

M = a ∫ 0 π / 2 1 + k cos ⁡ θ   d θ + a ∫ π / 2 π 1 - k cos ⁡ θ   d θ

Colocando a em evidência e separando as integrais pela regra do sinal:

M = a ∫ 1   d θ + k ∫ cos ⁡ θ d θ 0 π 2 + ∫ 1   d θ - k ∫ cos ⁡ θ d θ π 2 π

Resolvendo as integrais teremos:

M = a θ + k ⋅ s e n θ 0 π 2 + θ - k ⋅ s e n   θ π 2 π  

Resolvendo os limites de integração:

M = a π 2 + k s e n π 2 - 0 + k s e n   0 + π - k ⋅ s e n π - π 2 - k s e n π 2

M = a π 2 + k ⋅ 1 - 0 + k ⋅ 0 + π - k ⋅ 0 - π 2 - k ⋅ 1

M = a π 2 + k + π - π 2 + k

Desta forma:

M = a π 2 + k + π - π 2 + k = a 2 k + π ⇒ M = a π + 2 k

Passo 7

Agora que já temos:

M = a π + 2 k

M y = 0

M x = a 2 k + 2

Poderemos assim descobrir as coordenadas do centro, utilizando:

x - = M y M   e   y - = M x M ⇒ x - , y - = M y M , M x M

Assim:

x - = 0 a π + 2 k ⇒ x - = 0   e   y - = a 2 k + 2 a π + 2 k ⇒ y - = a k + 2 π + 2 k

Resposta

Desta forma o centro da massa está em:

0 , a k + 2 a π + 2 k

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