Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 2
Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável . Expresse em termos de e .
a) b)
Passo 1
A questão pede mostrarmos que as equações dadas definem alguma função diferenciável . Para isso, temos que recorrer ao teorema da função implícita.
O primeiro passo é definir as funções:
Para que as hipóteses do teorema sejam válidas, devemos achar pelo menos um ponto para cada função tal que (ou ) e que
Passo 2
Vamos fazer primeiro o item (a) usando . Vamos escolher
Assim, temos que
Além disso,
Como vale o teorema, a equação define implicitamente uma função . Além disso:
Passo 3
Já no item (b) com , vamos escolher . Note que
Derivando,
Logo, vale o teorema e a equação define alguma função do tipo , cuja derivada será:
Resposta
a)
b)