Mostre que a função de produção de Cobb-Douglas P = b * L^α * K^β satisfaz a equação

L(P) / L + K(P) / K = (α + β)P

Passo 1

O problema pede para nós mostrarmos que a função P = b L α K β satisfaz a seguinte equação diferencial:

L ∂ P ∂ L + K ∂ P ∂ K = α + β P

Para isso, você precisa achar as derivadas parciais e substituir na equação!

Derivando com relação a L :

∂ P ∂ L = α b L α - 1 K β ⇒ L ∂ P ∂ L = α b L α K β = α P

Analogamente,

∂ P ∂ K = β b L α K β - 1 ⇒ K ∂ P ∂ K = β b L α K β = β P

Passo 2

Desta forma,

L ∂ P ∂ L + K ∂ P ∂ K = α P + β P

Portanto,

L ∂ P ∂ L + K ∂ P ∂ K = α + β P

Vemos que de fato P satisfaz a equação de Cobb-Douglas!

Resposta

Demonstração.

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