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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 4

4. Considere a função h x , y = f x 2 + y 2 , x 2 - y 2 , onde f ( u , v ) é suposta de classe C 2 . Verifique que

∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u u , v + ∂ f ∂ v u , v + 4 x 2 ∂ 2 f ∂ u 2 u , v + 2 ∂ 2 f ∂ u   ∂ v u , v + ∂ 2 f ∂ v 2 u , v

Onde u = x 2 + y 2 e v = x 2 - y 2 .

Passo 1

Vamos calcular a primeira derivada aplicando a Regra da Cadeia:

∂ h ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x   + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Sabemos que u = x 2 + y 2 e v = x 2 - y 2 ,   então ∂ u ∂ x = 2 x e ∂ v ∂ y = - 2 y

Substituindo ∂ u ∂ x = 2 x e ∂ v ∂ x = 2 y , ficamos com

∂ h ∂ x = ∂ f ∂ u ( 2 x )   + ∂ f ∂ v ( 2 x )

Arrumando, ficamos com

∂ h ∂ x = 2 x ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

Passo 2

Agora calculamos a segunda derivada usando a Regra do Produto e a Regra da Cadeia

∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v + 2 x ∂ ∂ u ∂ f ∂ u ∂ u ∂ t + ∂ ∂ v ∂ f ∂ u ∂ v ∂ t + ∂ ∂ u ∂ f ∂ v ∂ u ∂ t + ∂ ∂ v ∂ f ∂ v ∂ v ∂ t

Substituindo ∂ u ∂ x = 2 x e ∂ v ∂ x = 2 y

∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v + 2 x ∂ ∂ u ∂ f ∂ u ( 2 x ) + ∂ ∂ v ∂ f ∂ u ( 2 x ) + ∂ ∂ u ∂ f ∂ v ( 2 x ) + ∂ ∂ v ∂ f ∂ v ( 2 x )

Arrumando, ficamos com

∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v + 4 x 2 ∂ 2 f ∂ u 2 + ∂ 2 f ∂ u   ∂ v + ∂ 2 f ∂ v   ∂ u + ∂ 2 f ∂ v 2

Como é suposta de classe C 2 , pelo Teorema de Schwarz

∂ 2 f ∂ u   ∂ v = ∂ 2 f ∂ v   ∂ u

Então ficamos com

∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v + 4 x 2 ∂ 2 f ∂ u 2 + 2 ∂ 2 f ∂ u   ∂ v + ∂ 2 f ∂ v 2

Resposta

∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v + 4 x 2 ∂ 2 f ∂ u 2 + 2 ∂ 2 f ∂ u   ∂ v + ∂ 2 f ∂ v 2

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a) Ache uma função u ( x , y ) da forma u x , y = F x 2 + y 2 que satisfaça a equação de Laplace ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 b) Faça a mesma coisa para funções de três ou mais variáveis.
Sejam G u , v = F x , y x , u = x + y e v = y x . Suponha que ∂ 2 F ∂ x 2 - 2 ∂ 2 F ∂ x∂ y + ∂ 2 F ∂ y 2 = 0 . Calcule ∂ 2 G ∂ v 2 .
Encontre ∂w/∂u e ∂w/∂y quando u = y = 0 se w = ln21 + x2 – tg–1 x e x = 2eu cos y.
Encontre o valor da derivada de ƒ(x, y, z) = xy + yz + xz com relação a t na curva x = cos t, y = sen t, z = cos 2t em t = 1.
Mostre que se w = ƒ(s) é qualquer função diferenciável de s e se s = y + 5x, então δ w δ x - 5 δ w δ y = 0