4. Considere a função h(x, y) = f(x^2 + y^2, x^2 - y^2) onde f(u, v) é suposta de classe C^2 . Verifique que

∂²h / ∂x² = 2 [ ∂f / ∂u (u, v) + ∂f / ∂v (u, v) ] + 4x² [ ∂²f / ∂u² (u, v) + 2 ∂²f / ∂u ∂v (u, v) + ∂²f / ∂v² (u, v) ]

Onde u = x^2 + y^2 e v = x^2 - y^2 .

Passo 1

Vamos calcular a primeira derivada aplicando a Regra da Cadeia:

∂ h ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x   + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Sabemos que u = x 2 + y 2 e v = x 2 - y 2 ,   então ∂ u ∂ x = 2 x e ∂ v ∂ y = - 2 y

Substituindo ∂ u ∂ x = 2 x e ∂ v ∂ x = 2 y , ficamos com

∂ h ∂ x = ∂ f ∂ u ( 2 x )   + ∂ f ∂ v ( 2 x )

Arrumando, ficamos com

∂ h ∂ x = 2 x ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

Passo 2

Agora calculamos a segunda derivada usando a Regra do Produto e a Regra da Cadeia

∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v + 2 x ∂ ∂ u ∂ f ∂ u ∂ u ∂ t + ∂ ∂ v ∂ f ∂ u ∂ v ∂ t + ∂ ∂ u ∂ f ∂ v ∂ u ∂ t + ∂ ∂ v ∂ f ∂ v ∂ v ∂ t

Substituindo ∂ u ∂ x = 2 x e ∂ v ∂ x = 2 y

∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v + 2 x ∂ ∂ u ∂ f ∂ u ( 2 x ) + ∂ ∂ v ∂ f ∂ u ( 2 x ) + ∂ ∂ u ∂ f ∂ v ( 2 x ) + ∂ ∂ v ∂ f ∂ v ( 2 x )

Arrumando, ficamos com

∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v + 4 x 2 ∂ 2 f ∂ u 2 + ∂ 2 f ∂ u   ∂ v + ∂ 2 f ∂ v   ∂ u + ∂ 2 f ∂ v 2

Como é suposta de classe C 2 , pelo Teorema de Schwarz

∂ 2 f ∂ u   ∂ v = ∂ 2 f ∂ v   ∂ u

Então ficamos com

∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v + 4 x 2 ∂ 2 f ∂ u 2 + 2 ∂ 2 f ∂ u   ∂ v + ∂ 2 f ∂ v 2

Resposta

∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v + 4 x 2 ∂ 2 f ∂ u 2 + 2 ∂ 2 f ∂ u   ∂ v + ∂ 2 f ∂ v 2

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