4. Considere a função onde é suposta de classe . Verifique que
Onde e .
Passo 1
Vamos calcular a primeira derivada aplicando a Regra da Cadeia:
Sabemos que e então e
Substituindo e , ficamos com
Arrumando, ficamos com
Passo 2
Agora calculamos a segunda derivada usando a Regra do Produto e a Regra da Cadeia
Substituindo e
Arrumando, ficamos com
Como é suposta de classe , pelo Teorema de Schwarz
Então ficamos com