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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 4

Nos exercícios de 1 a 6, encontre as derivadas parciais indicadas

4.

f x , y =   ∫ x y ln ⁡ sen ⁡ t d t  

f x x , y

Passo 1

Oii, neste capítulo estamos subindo de nível. Em cálculo 1 tínhamos apenas uma variável e várias constantes na nossa equação. Agora temos 2 ... 3 variáveis na mesma equação.

O que fazer? Primeiro sem pânico. Sabemos derivar! O que vamos fazer agora que temos várias variáveis e queremos derivar parcialmente é tratar a variável que você quer derivar como única e todas as outras passam a ser constantes no nosso sistema. Por exemplo, se nossa equação é

f x , y = x 2 + y 2

Se quisermos derivamos parcial para y faremos

∂ f ∂ y = 2 y

Afinal se x é uma constante, ao derivar ela se torna nula. 😉

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

f x , y =   ∫ x y ln ⁡ sen ⁡ t d t  

E queremos derivar parcial em x. SO temos uma complicação temos uma integral, então vamos precisar recorrer ao teorema fundamental do calculo!

d d x ∫ a f x g t d t   = g f x ⋅ f ' x

Onde a   é uma constante

Passo 3

Como a variável que queremos derivar está no limite inferior da integral podemos fazer um truque

f x , y =   ∫ x y ln ⁡ sen ⁡ t d t  

= -   ∫ y x ln ⁡ sen ⁡ t d t  

Agora podemos derivar parcialmente em x

d d x -   ∫ y x ln ⁡ sen ⁡ t d t   =   - ln ⁡ sen ⁡ x

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

f x x , y =   - ln ⁡ sen ⁡ x  

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