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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 7

7. Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção do gráfico de

z = x 2 9 + y 2 4 - 1

Com o plano y = 4 no ponto 3,4 , 2

Passo 1

Oii a todos. Estamos começando mais uma resolução. Quando temos um problema como esse , uma superfície que faz interseção com um plano e isso nos gera uma curva, podemos fazer algebricamente de forma simples. Montar um sistema

z = x 2 9 + y 2 4 - 1

y = 4

E agora a gente substitui uma equação na outra

z = x 2 9 + 4 2 4 - 1

z = x 2 9 + 3

Se você esta incerto sobre que tipo de curva é essa, podemos manipular um pouco

z 2 =   x 2 9 + 3

z 2 - x 2 9 = 3

z 2 3 - x 2 27 = 1

OU seja estamos trabalhando com uma hipérbole. Sendo que como a equação original é com raiz quadrada então estamos escolhendo apenas um lado do par de curvas. Raiz positiva significa curva com concavidade para cima 😉

Passo 2

Agora basta calcular a inclinação da reta tangente a curva

z = x 2 9 + 3

Vamos derivar normalmente essa função

z ' = 2 x 9 2 x 2 9 + 3

z ' = x 9 x 2 9 + 3

Agora para sabermos o valor dessa derivada no ponto precisamos apenas aplicar o ponto a essa equação

z ' P 0 = z ' 3,4 , 2  

z ' = 3 9 3 2 9 + 3

z ' = 1 6

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Inclinação da reta tangente à curva

z ' = 1 6

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