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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 9a

9. Seja

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0

= 0 → x , y = 0,0

  1. Determine ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y
  2. Mostre que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y não são contínuas em ( 0,0 )
  3. Mostre, usando a definição que f é diferençável em ( 0,0 )
  4. Mostre que f é uma função diferenciavel em R²

Passo 1

Neste item a) vamos poder usar todas as regras de derivação que estamos acostumados a usar desde calculo 1. Vamos arregaçar as mangas e derivar essa função. Lembrando que quando estamos derivando parcialmente em relação a uma variável, as outras variáveis se tornam constantes. Beleza? Vamos !

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2

Vamos usar a regra da cadeia

∂ f ∂ x = 2 x   sen ⁡ 1 x 2 + y 2 + x 2 + y 2 cos ⁡ 1 x 2 + y 2 ⋅ - 1 ⋅ x 2 + y 2 - 2 ⋅ 2 x

∂ f ∂ x = 2 x   sen ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 x x 2 + y 2 - 1 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

Passo 2

Agora vamos derivar em relação a y

∂ f ∂ y = 2 y   sen ⁡ 1 x 2 + y 2 + x 2 + y 2 cos ⁡ 1 x 2 + y 2 ⋅ - 1 ⋅ x 2 + y 2 - 2 ⋅ 2 y

∂ f ∂ y = 2 y   sen ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 y x 2 + y 2 - 1 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∂ f ∂ x = 2 x   sen ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 x x 2 + y 2 - 1 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

∂ f ∂ y = 2 y   sen ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 y x 2 + y 2 - 1 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

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