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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 60

Nos Exercícios 57-60, utilize a definição limite de derivada parcial para calcular as derivadas parciais das funções nos pontos especificados

Passo 1

Nesta tarefa, somos solicitados a encontrar o valor das derivadas parciais em relação a x e y no ponto dado usando a definição de derivada parcial. Lembre-se que a derivada parcial em relação a x no ponto dado x 0 , y 0 (se existir) é definido como:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = l i m h → 0   f x 0 + h , y 0 - f x 0 , y 0 h

Passo 2

f x , y = sin ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0 f 0,0 = 0 f 0 + h , 0 = sin ⁡ h 3 h 2 f 0 , h = sin ⁡ h 4 h 2 ∂ f ∂ x 0,0 = l i m h → 0   sin ⁡ h 3 h 2 h = l i m h → 0   sin ⁡ h 3 h 3 = 1 = l i m h → 0   sin ⁡ h 4 h 2 h = l i m h → 0   sin ⁡ h 4 h 3 ⋅ h h = l i m h → 0   h l i m h → 0   sin ⁡ h 4 h 4 = 0 ⋅ 1 = 0

f ( x , y ) = sin ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 , ( x , y ) = ( 0,0 ) f ( 0,0 ) = 0 f ( 0 + h , 0 ) = sin ⁡ h 3 h 2 f ( 0 , h ) = sin ⁡ h 4 h 2 ∂ f ∂ x ( 0,0 ) = l i m h → 0   sin ⁡ h 3 h 2 h = l i m h → 0   sin ⁡ h 3 h 3 = 1 = l i m h → 0   sin ⁡ h 4 h 2 h = l i m h → 0   sin ⁡ h 4 h 3 ⋅ h h = l i m h → 0   h l i m h → 0   sin ⁡ h 4 h 4 = 0 ⋅ 1 = 0

Resposta

f x = 1

f y = 0

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