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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 23

Mostre que, se α for zero ou um inteiro positivo par 2 n , a solução em série y 1 se reduzirá a um polinômio de grau 2 n contendo apenas potências pares de x . Encontre os polinômios correspondentes a α   =   0 ,   2   e   4 . Mostre que, se α for um inteiro positivo ímpar 2 n   +   1 , a solução em série y 2 se reduzirá a um polinômio de grau 2 n   +   1 contendo apenas potências ímpares de x . Encontre os polinômios correspondentes a α   =   1 ,   3   e   5 .

Passo 1

Se α = 2 n para alguns n ∈ N 0 , todos os termos em y 1 após os enésimos termos desaparecem porque consistem no fator α - 2 n . Como os enésimos termos tem o poder de x com o maior expoente, sendo esse maior expoente equivalente a 2 n , dessa forma o grau do polinômio y 1 é 2 n . Os polinômios correspondentes a α   =   0 ; 2 ; 4 são respectivamente:

y 1 x = 1 ,

y 1 x = 1 - 2.3 2 x 2 = 1 - 3 x 2 ,

y 1 x = 1 - 4.5 2 x 2 + 4.2 . 5.7 4 ! x 4 = 1 - 10 x 2 + 35 4 x 4 .

Passo 2

Da mesma forma, se α = 2 n + 1 para alguns n ∈ N 0 , todos os termos em y 2 após os enésimos termos desaparecem porque consistem no fator α - ( 2 n + 1 ) . Como o enésimo tern tem o poder de x com o maior expoente, 2 n   +   1 , o grau do polinômio y 2 é 2 n   +   1 . Os polinômios correspondentes a α   =   1,3   e   5 são respectivamente:

y 2 x = x ,

y 1 x = x - 2 . 5 3 ! x 3 = 1 - 5 3 x 3 ,

y 1 x = 1 - 4 . 7 3 ! x 2 + 4.2 . 7 . 9 5 ! = x - 1 4 3 x 3 + 21 5 x 5 .

Resposta

1,1 - 3 x 2 , 1 - 10 x 2 + 35 4 x 4 ;

x , x - 5 3 x 3 , x - 14 3 x 3 + 21 5 x 5

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