Mostre que, se α for zero ou um inteiro positivo par 2 n , a solução em série y 1 se reduzirá a um polinômio de grau 2 n contendo apenas potências pares de x . Encontre os polinômios correspondentes a α=0 ,2e4 . Mostre que, se α for um inteiro positivo ímpar 2 n+1 , a solução em série y 2 se reduzirá a um polinômio de grau 2 n+1 contendo apenas potências ímpares de x . Encontre os polinômios correspondentes a α=1 ,3e5 .

1,1 - 3 x 2 , 1 - 10 x 2 + 35 4 x 4 ; x , x - 5 3 x 3 , x - 14 3 x 3 + 21 5 x 5

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 23

Mostre que, se α for zero ou um inteiro positivo par , a solução em série se reduzirá a um polinômio de grau contendo apenas potências pares de . Encontre os polinômios correspondentes a . Mostre que, se α for um inteiro positivo ímpar a solução em série se reduzirá a um polinômio de grau contendo apenas potências ímpares de . Encontre os polinômios correspondentes a

Passo 1

Se para alguns , todos os termos em após os enésimos termos desaparecem porque consistem no fator . Como os enésimos termos tem o poder de com o maior expoente, sendo esse maior expoente equivalente a , dessa forma o grau do polinômio é . Os polinômios correspondentes a são respectivamente:

Passo 2

Da mesma forma, se para alguns , todos os termos em após os enésimos termos desaparecem porque consistem no fator . Como o enésimo tern tem o poder de com o maior expoente, , o grau do polinômio é . Os polinômios correspondentes a são respectivamente:

Resposta

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Considere a equação de Bessel de ordem v , x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - v 2 y = 0 ,x0 , em que v é a real e positivo.d) Verifique, por métodos diretos, que as séries de potências nas expressões para y 1

Considere a equação de Bessel de ordem v , x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - v 2 y = 0 ,x0 , em que v é a real e positivo.b) Correspondendo à raiz maior v , mostre que uma solução é y 1 x = x v [ 1 - 1 1 ! 1

Em cada um dos problemas de 5 a 8, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto x 0 dado. x y ' ' + y = 0 ;x 0 = 1

Em cada um dos problemas de 5 a 8, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto x 0 dado. y ' ' + 4 y ' + 6 x y = 0 ;x

Em cada um dos problemas de 5 a 8, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto x 0 dado. x 2 - 2 x - 3 y ' ' + x y '