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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.5 - Ex. 8

Mostre que a equação diferencial de segunda ordem y "   =   F ( x ,   y ,   y ' ) pode ser reduzida a um sistema de duas equações diferenciais de primeira ordem

d y d z = z ,

d z d x = F ( x , y , z )

E possível fazer algo semelhante no caso da equação diferencial de ordem n , y n = F x , y , y ' , y ” , … , y n - 1 ?

Passo 1

Primeiramente devemos mostrar que a equação diferencial de segunda ordem dada no problema pode ser reescrita como mostrado no enunciado. Depois disso, tentaremos mostrar se é possível uma generalização desse método.

Passo 2

Primeiramente, façamos a seguinte substituição

z = y ' = d y d x → d z d x = z ' = y "

Tomando agora a equação diferencial

y "   =   F ( x ,   y ,   y ' )

Podemos reescrevê-la da seguinte forma

d y d x = z

d z d x = F x , y , z

Agora, vamos tentar generalizar o resultado obtido acima utilizando o mesmo raciocínio. Tomando a equação diferencial de ordem n →   y n = F x , y , y ' , y ” , … , y n - 1 podemos fazer

z 1 = y ' = d y d x → d z 1 d x = z 1 ' = y "

Fazendo, agora

z 2 = z 1 ' = y " →   d z 2 d x =   z 2 ' = y ' ' '  

Generalizando essas substituições chegaremos em

z n - 1 =   z n - 2 ' = y n - 1 →   z n - 1 ' = y n

Dessa forma y n = F x , y , y ' , y ” , … , y n - 1 pode ser reescrito

d y d x = z 1

d z 1 d x = z 2

d z 2 d x = z 3

…  

d z n - 2 d x = z n - 1

d z n - 1 d x = F ( x , y , z 1 , z 2 , … ,   z n - 1 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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