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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.2 - Ex. 88

Se ∑ a n converge e ∑ b n diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo ∑ a n + b n ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos assumir que A n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n e B n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .

Para a demonstração, vamos supor que ∑ a n + b n converge para S, ou seja, ∑ a n + b n = S n . Assim, temos que:

S n = a 1 + b 1 + a 2 + b 2 + a 3 + b n + … + ( a n + b n )  

S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n + b 1 + b 2 + b 3 + … + b n

S n = A n + B n

Podemos dizer ainda que, B n = S n - A n .

Assim, podemos ver que B n é a diferença entre S n e A n que são duas somas convergentes. No entanto, isso não pode ser porque contradiz a suposição de que B n é divergente, portanto, não pode ser expressa como a diferença de duas somas convergentes. Portanto, S n não deve ser convergente e é divergente por contradição.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

A série ∑ a n + b n diverge. Veja a demonstração acima.

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