Enunciado

Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000

Passo 1

Bom, galera, nesse exercício queremos encontrar o número c para que dado esse numero c , tenhamos:

f x = x 2 + 10   s e n ( x )

assume o valor de 10 00 . E podemos provar isso pelo Teorema do Valor Intermediário, que diz o seguinte:

“Se f for uma função contínua em um intervalo fechado [ a , b ] e N um número qualquer entre f ( a ) e f ( b ) , em que f a ≠ f ( b ) . Então existe um número c em ( a , b ) tal que f c = N .”

Ainda não ficou claro? Olha só, o Teorema do Valor Intermediário diz que que você está viajando de uma cidade A para uma cidade B. O Teorema do Valor Intermediário diz que, se você começar sua viagem em uma altitude de 100 metros, representando f a , e terminar em uma altitude de 50 metros, representando f b , então em algum momento durante sua viagem, você estará em uma altitude de exatamente 75 metros, o nosso ponto c onde f c = 75 , é esse o valor intermediário!!!

Beleza! Então agora nosso raciocínio será determinar quais os domínios de f x e finalmente descobrirmos qual o valor de c .

Passo 2

Beleza, então para provar que existe um c tal que

f x = 1000

ou seja,

f c = 1000

podemos partir do princípio de que nossa função é contínua para todo o intervalo ( - ∞ , + ∞ ) , isso porque ela é uma função polinomial com trigonométrica (que são 2 tipos de funções contínuas em todo o domínio).

Sendo assim, podemos dizer que ela é contínua no intervalo fechado [ - 10000,10000 ] e que N = 1000 está no meio desse intervalo de f ( - 10000 ) e f ( 10000 ) , certo?

Passo 3

Além disso,

f - 10000 ≠ f ( 10000 )

Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, podemos afirmar que existe um c , tal que f c = 1000 .

Tranquilo?? É só isso mesmo!

Resposta

Explicação no passo a passo.

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