Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 51
Se , mostre que existe um número tal que
Passo 1
Bom, galera, nesse exercício queremos encontrar o número para que dado esse numero , tenhamos:
assume o valor de . E podemos provar isso pelo Teorema do Valor Intermediário, que diz o seguinte:
“Se for uma função contínua em um intervalo fechado e um número qualquer entre e , em que . Então existe um número em tal que .”
Ainda não ficou claro? Olha só, o Teorema do Valor Intermediário diz que que você está viajando de uma cidade A para uma cidade B. O Teorema do Valor Intermediário diz que, se você começar sua viagem em uma altitude de 100 metros, representando , e terminar em uma altitude de 50 metros, representando , então em algum momento durante sua viagem, você estará em uma altitude de exatamente metros, o nosso ponto onde , é esse o valor intermediário!!!
Beleza! Então agora nosso raciocínio será determinar quais os domínios de e finalmente descobrirmos qual o valor de .
Passo 2
Beleza, então para provar que existe um tal que
ou seja,
podemos partir do princípio de que nossa função é contínua para todo o intervalo , isso porque ela é uma função polinomial com trigonométrica (que são 2 tipos de funções contínuas em todo o domínio).
Sendo assim, podemos dizer que ela é contínua no intervalo fechado e que está no meio desse intervalo de e , certo?
Passo 3
Além disso,
Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, podemos afirmar que existe um , tal que .
Tranquilo?? É só isso mesmo!
Resposta
Explicação no passo a passo.