Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 51

Se , mostre que existe um número tal que

Passo 1

Bom, galera, nesse exercício queremos encontrar o número para que dado esse numero , tenhamos:

assume o valor de . E podemos provar isso pelo Teorema do Valor Intermediário, que diz o seguinte:

“Se for uma função contínua em um intervalo fechado e um número qualquer entre e , em que . Então existe um número em tal que .”

Ainda não ficou claro? Olha só, o Teorema do Valor Intermediário diz que que você está viajando de uma cidade A para uma cidade B. O Teorema do Valor Intermediário diz que, se você começar sua viagem em uma altitude de 100 metros, representando , e terminar em uma altitude de 50 metros, representando , então em algum momento durante sua viagem, você estará em uma altitude de exatamente metros, o nosso ponto onde , é esse o valor intermediário!!!

Beleza! Então agora nosso raciocínio será determinar quais os domínios de e finalmente descobrirmos qual o valor de .

Passo 2

Beleza, então para provar que existe um tal que

ou seja,

podemos partir do princípio de que nossa função é contínua para todo o intervalo , isso porque ela é uma função polinomial com trigonométrica (que são 2 tipos de funções contínuas em todo o domínio).