Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 33
(a) Mostre que (a função de Bessel de ordem dada no Exemplo 4) satisfaz a equação diferencial
(b) Calcule com precisão de três casas decimais.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo na paz?
Na parte a), a questão pede para usarmos a função dada no exemplo 4:
E mostramos que ela satisfaz essa equação:
Sendo a primeira derivada da função e a segunda derivada.
Então temos que achar essas derivadas e substituir na equação que queremos provar.
Já a parte b) pede o cálculo de:
Com precisão de três casas decimais.
Bora lá!
Passo 2
(a) No exemplo 4 foi mencionado a função de Bessel de ordem como sendo
Para substituir na equação, vamos ter que derivar duas vezes, então:
Como o primeiro termo da função de Bessel é constante, ao derivarmos ele some e podemos começar de .
Passo 3
Substituindo na equação diferencial
Todas as séries começam na potência , mas para soma-las vamos ter que reindexar a última série, substituindo
Passo 4
Substituindo de volta na soma
Juntando as séries
Podemos colocar em evidencia
Nos dois primeiros termos da soma do colchete, podemos colocar quase tudo em evidencia
Agora no primeiro termo, podemos tirar o primeiro termo do fatorial, pra cancelar com o no numerador
Temos dois termos idênticos subtraindo, então
E a função de Bessel de ordem é solução para a equação
Passo 5
(b)
Esquecemos os limites de integração por enquanto. Tirando os termos constantes para fora da integral:
Resolvendo a integral:
Então, finalmente aplicando os limites de integração:
Passo 6
Substituindo a série zera, então vamos usar só .
No quarto termo já temos que
Então esse termo já não afeta a terceira casa decimal, logo
Resposta
(a) Demonstração.
(b)