Mostre que a função f dada por f x = x é contínua em R n . [Sugestão: Considere x - a 2 = x - a ⋅ x - a .]

Passo 1

Eaee, tudo tranquilinho?? Bom... o enunciado quer que a gente demonstre que a função f dada por f x = x é contínua em R n .

Em outras palavras, queremos demonstrar que a função modular é contínua em todo o domínio dos reais.

Para isso, o enunciado quer que consideremos o seguinte:

x - a 2 = x - a ⋅ x - a

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Galera, seguindo a sugestão do enunciado, temos:

x - a 2 = x - a ⋅ x - a

Também podemos dizer que:

x - a 2 = x 2 + a 2 - 2 x a cos ⁡ θ

E esse valor será sempre maior ou igual a esse aqui (por conta do cosseno):

x 2 + a 2 - 2 x a

Que é a mesma coisa de:

x - a 2

Ou seja, obtemos:

x - a ≤ | x - a |

Passo 3

Agora, considere ϵ > 0 arbitrário e façamos δ = ϵ .

Então, sempre que 0 < | x - a | < δ , teremos:

x - a ≤ x - a < δ = ϵ

Portanto, pela definição de limite, chegamos a:

lim x → a ⁡ x = a

Ou seja, a função f x = x é contínua em R n .

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados