Discuta a continuidade das funções abaixo:

a   f x ,   y = x y x + y ,               s e   x ,   y ≠ 0 ,   0 0           ,           s e   x ,   y = 0 ,   0

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Uma ideia para resolvermos esse exercício é usar o valor da função no ponto 0 ,   0 , ou seja:

f 0 ,   0 = 0

E verificar se o limite da função f x ,   y tendendo a esse ponto resulta no mesmo valor. Colocando isso de forma matematicamente, temos que verificar a seguinte equação:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f x ,   y = 0

Passo 2

Como os valores de x e y são bem próximos de zero, mas não exatamente nulos, podemos dizer que a função é:

f x ,   y = x y x + y

Então, precisamos calcular:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y x + y

Se substituirmos direto o valor das variáveis, teremos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y x + y = 0 0

Que é um resultado indeterminado e, por isso, precisamos resolver isso de outra forma. Vamos calcular o limite para os valores em cada eixo coordenado (nos eixos de x e y ).

Passo 3

Dessa forma, para o eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

lim x → 0 ⁡ f x ,   0 = lim x → 0 ⁡ x 0 x + 0 = 0

Agora, para o eixo dos y , x = 0 , tal que:

lim y → 0 ⁡ f 0 ,   y = lim y → 0 ⁡ 0 y 0 + y = 0

Bom, dessa forma, a gente não consegue concluir que o limite não existe. Mas também não podemos dizer que ele existe!! Isso porque nós testamos 2 caminhos diferentes, mas ainda existem vários outros.

Vamos tentar então generalizar com coordenadas polares.

Passo 4

Quando queremos estudar o limite de uma função de duas variáveis no ponto (0,0)(0,0)(0,0), uma técnica útil é escrever:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Onde:

r ≥ 0 é a distância até a origem

θ é o ângulo que o ponto forma com o eixo x

Assim, ser r → 0 , significa que o ponto x , y → 0,0 , por qualquer direção (qualquer valor de θ ).

A função para x , y ≠ 0,0 é:

f x , y = x y x + y

Substituindo:

x y = r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ

E no denominador:

x + y = r cos ⁡ θ + sin ⁡ θ

Então:

f x , y = r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ r cos ⁡ θ + sin ⁡ θ = r ⋅ cos ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ + sin ⁡ θ

Agora temos:

f x , y = r ⋅ A θ

Onde aqui A θ não depende de r . Mas quando r → 0 , ou seja, se aproxima da origem, então:

f x , y = r ⋅ A θ → 0

Então, não importando o ângulo de θ , sempre teremos esse limite igual a zero.

Ou seja, o limite existe e vale 0, o mesmo valor da função no ponto (0,0)(0,0)(0,0). Portanto, a função é contínua nesse ponto.

Resposta

contínua

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