Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.4 - Ex. 4a

Discuta a continuidade das funções abaixo:

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Uma ideia para resolvermos esse exercício é usar o valor da função no ponto , ou seja:

E verificar se o limite da função tendendo a esse ponto resulta no mesmo valor. Colocando isso de forma matematicamente, temos que verificar a seguinte equação:

Passo 2

Como os valores de e são bem próximos de zero, mas não exatamente nulos, podemos dizer que a função é:

Então, precisamos calcular:

Se substituirmos direto o valor das variáveis, teremos:

Que é um resultado indeterminado e, por isso, precisamos resolver isso de outra forma. Vamos calcular o limite para os valores em cada eixo coordenado (nos eixos de e ).

Passo 3

Dessa forma, para o eixo dos , temos que . Logo:

Agora, para o eixo dos , , tal que:

Bom, dessa forma, a gente não consegue concluir que o limite não existe. Mas também não podemos dizer que ele existe!! Isso porque nós testamos 2 caminhos diferentes, mas ainda existem vários outros.

Então, não podemos afirmar nada sobre essa função.