Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 37
(a) Mostre que a função
É uma solução da equação diferencial
(b) Mostre que
Passo 1
E aí, amigos! Tranquilo?
A questão pede duas demonstrações:
A parte a) pede que a gente mostre que
É uma solução da equação diferencial:
Então, precisamos derivar nossa série, para mostrar que a série é igual original à sua primeira derivada, ou seja, que a gente deriva a série e ela continua a mesma.
A parte b) da nossa questão pede que a gente mostre que essa função em questão que a gente está tratando em forma de série é na verdade a função exponencial:
E para isso vamos usar o Teorema 9.4.2 do nosso livro que nos dá as seguintes equações:
Vamos pra resolução!
Passo 2
(a) Inicialmente devemos calcular a derivada de . Isso deve ser feito derivando termo a termo a sua série correspondente.
Como a derivada de uma potência é:
Vamos substituir na série:
Simplificando o termo fatorial, temos:
Substituindo na nossa série, ficamos com:
Analisando o resultado obtido, observamos que podemos trocar por , tomando como índice do somatório, sem que isso altere os termos da série derivada. Dessa forma temos:
Portanto, está mostrado que a função é uma solução da equação diferencial dada.
OBS: uma outra maneira de chegar a esse resultado é resolver a equação como uma equação diferencial separável.
Passo 3
(b) Pelo Teorema 9.4.2, sabemos que a única solução da equação diferencial é . Além disso, através do termo geral da série que representa , constata-se que . Portanto, temos
Logo,
Resposta
Demonstração.