Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 37

(a) Mostre que a função

É uma solução da equação diferencial

(b) Mostre que

Passo 1

E aí, amigos! Tranquilo?

A questão pede duas demonstrações:

A parte a) pede que a gente mostre que

É uma solução da equação diferencial:

Então, precisamos derivar nossa série, para mostrar que a série é igual original à sua primeira derivada, ou seja, que a gente deriva a série e ela continua a mesma.

A parte b) da nossa questão pede que a gente mostre que essa função em questão que a gente está tratando em forma de série é na verdade a função exponencial:

E para isso vamos usar o Teorema 9.4.2 do nosso livro que nos dá as seguintes equações:

Vamos pra resolução!

Passo 2

(a) Inicialmente devemos calcular a derivada de . Isso deve ser feito derivando termo a termo a sua série correspondente.

Como a derivada de uma potência é:

Vamos substituir na série:

Simplificando o termo fatorial, temos:

Substituindo na nossa série, ficamos com:

Analisando o resultado obtido, observamos que podemos trocar por , tomando como índice do somatório, sem que isso altere os termos da série derivada. Dessa forma temos:

Portanto, está mostrado que a função é uma solução da equação diferencial dada.

OBS: uma outra maneira de chegar a esse resultado é resolver a equação como uma equação diferencial separável.

Passo 3

(b) Pelo Teorema 9.4.2, sabemos que a única solução da equação diferencial é . Além disso, através do termo geral da série que representa , constata-se que . Portanto, temos