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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 28

Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

∫ t g - 1 x x d x

Passo 1

Fala, gente bonita!

A questão nos deu essa integral pra ser resolvida como série de potências e depois encontrar o raio de convergência.

∫ t g - 1 x x d x

Para encontrar a série de potência de t g - 1 x x , vamos calcular primeiramente t g - 1 x e depois multiplicar o resultado por 1 x .

Então a série de potência de t g - 1 x é:

∫ 1 1 + x 2 d x =   ∫ 1 - x 2 + x 4 - x 6 + … d x

C + x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + …  

Para encontrarmos a constante C , fazemos x = 0 e encontramos que C = 0 .

Passo 2

Temos:

t g - 1 x = x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + …

Representando como uma série de potência:

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1

Multiplicando ambos os lados por 1 x :

t g - 1 x x

Ou seja,

1 x ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Jogando o termo para dentro do somatório

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n 2 n + 1

Entendeu por qual motivo multiplicamos? Resolvemos primeiro nosso t g - 1 ( x ) e depois pelo 1 x que participava da função no começo.

Passo 3

Agora que sabemos quem é a série de potência, podemos calcular a integral:

∫ t g - 1 x x d x

Como já temos a série de potência:

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n + 1

Integrando, teremos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 2 n + 1

Ou melhor,

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ²

Passo 4

Calculando o raio de convergência, podemos colocar na fórmula inversa do Teste da Razão, assim seremos mais rápidos:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 n + 3

Colocando n em evidência para que nosso limite não fique indeterminado, e após cancelando os termos:

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 1 n n 2 + 3 n

lim n → ∞ ⁡ 2 2 = 1  

Ou seja, nosso Raio de Convergência R = 1 .

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ²

R = 1

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