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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 18

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

18.

f x = x 2 - x 3

0

Passo 1

Fala, galera, tudo joia?

A questão nos deu uma função linda de bonita, e quer que a gente represente como série de potências e também o raio de convergência dela. Moleza, né?

A gente sempre vai procurar manipular nossa função para ela ficar parecida com uma série geométrica:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + …

Passo 2

Vamos procurar semelhar nossa função a uma série de potência:

1 2 - x

1 2 1 - x 2

1 2 ∑ n = 0 ∞ x 2 n = ∑ n = 0 ∞ x n 2 n + 1

Passo 3

Agora precisamos fazer com que 1 2 - x fique elevado ao cubo.

Para que isso aconteça podemos derivar duas vezes esta expressão.

1ª derivada:

d d x 1 2 - x = d d x ∑ n = 0 ∞ x n 2 n + 1

1 ( 2 - x ) ² = ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 2 n + 1

2ª derivada:

d d x 1 2 - x 2

d d x ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 2 n + 1

2 2 - x 3 = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 x n - 2 2 n + 1

∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) x n 2 n + 3

Desta forma a série de potência de x 2 - x 3 fica:

x 2 - x 3

2 2   x 3 2 - x 3

x 3 2   ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 x n 2 n + 3

∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) x n + 3 2 n + 4

Assim encontramos nossa função como série de potências.

Passo 4

Calculando o raio de convergência, podemos calcular o inverso da fórmula do Teste da Razão:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1

Quem seria nosso c n ?

c n = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 n + 4

Logo,

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 n + 4 ( n + 2 ) ( n + 3 ) 2 n + 5

Pela propriedade da divisão de frações, onde invertemos o denominador e multiplicamos:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 2 n + 4   × 2 n + 5 n + 2 n + 3

Colocando n em evidência, podemos cancelar os termos:

lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n 2 n 1 + 3 n  

Como 1 ∞ = 0 , descobrimos nosso raio de convergência:

R = lim n → ∞ ⁡ 2 = 2

Resposta

∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) x n + 3 2 n + 4

R = 2

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