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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.9 - Ex. 19

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

f x = x 3 ( x - 2 ) 2

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos resolver esse problema passo a passo?!

Primeiro, notamos que a função 1 1 - x é uma série de potências conhecida, derivada da série

geométrica. Sua derivada é - 1 x - 2 2 . Portanto, nossa estratégia será ajustar a expressão x 3 ( x - 2 ) 2 para que se assemelhe a 1 1 - x , e então integrá-la para obter a série de potências.

A série de potencias de 1 1 - x é dada por:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Passo 2

Para obter a série de potências de 1 x - 2 2 , podemos derivar termo a termo a série de potências de 1 1 - x , o que nos leva a:

d d x 1 1 - x = d d x ∑ n = 0 ∞ x n

Utilizando a regra de derivação termo a termo a série de potências, obtemos:

- 1 x - 2 2 =   ∑ n = 0 ∞ d d x ( x ) n

= ∑ n = 0 ∞ n x n - 1

Multiplicando ambos os lados por x³, temos:

x ³   .     - 1 x - 2 2 = x ³ .   ∑ n = 0 ∞ n x n - 1

Que resulta em:

x ³   .     1 x - 2 2 = ∑ n = 0 ∞ n x n + 2

Esta expressão nos fornece a série de potências para 1 x - 2 2 , onde os termos são os coeficientes n x n + 2 .

Passo 3

Agora, vamos proceder com o cálculo do raio de convergência. Para esse cálculo, podemos utilizar o teste da razão. Este teste nos permite determinar o raio de convergência R de uma série de potências ∑ n = 0 ∞ a n x n através da seguinte expressão:

R = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1  

No nosso caso, a n = n , então temos:

R = lim n → ∞ ⁡ n n + 1

Quando n tende ao infinito, o termo n n + 1 tende a 1 . Portanto, o limite é igual a 1 . Por isso, concluímos que R = 1 .

Resposta

x ³ x - 2 2 = x ³ . ∑ n = 0 ∞ n x n

Raio de convergência: R = 1

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