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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 32

Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.

32.

∫ 0 0,3 x 2 1 + x 4 d x

Passo 1

Fala, galera! Tudo show?

O enunciado nos deu essa integral e pede pra gente resolvê-la como uma série de potência, com uma precisão de seis casas decimais na resposta final. Moleza, né?

Primeiro precisamos fazer dessa nossa função dentro da integral como uma série de potências. Ela precisa ter uma cara parecida com a série geométrica. Essa daqui, ó:

∑ n = ∞ x n = + x + x 2 + x 3 + … = 1 1 - x

Podemos reescrever o integrando como uma série de potências:

x 2 × 1 1 - - x 4

Assim,

x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n  

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n x 2

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2

Passo 2

Agora que temos nossa série de potências, jogamos na integral definida:

∫ 0 0,3 x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n d x = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 0,3 - 1 n x 4 n + 2 d x

Que nos resulta em:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 3 4 n + 3   0,3 0

Avaliando os limites de integração, temos por fim:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 4 n + 3 4 n + 3 10 4 n + 3

Substituindo n = 0 :

- 1 0 3 4 ⋅ 0 + 3 4 ⋅ 0 + 3 10 4 ⋅ 0 + 3 = 3 3 3 ∙ 10 3

Ou por n = 1

- 1 1 3 4 ⋅ 1 + 3 4 ⋅ 1 + 3 10 4 ⋅ 1 + 3 = - 3 7 7 ∙ 10 7

Ou por n = 2

- 1 2 3 4 ⋅ 2 + 3 4 ⋅ 2 + 3 10 4 ⋅ 2 + 3 = 3 11 11 ∙ 10 11

Tomando apenas os dois primeiros termos dessa série, temos:

3 3 3 ∙ 10 3 - 3 7 7 ∙ 10 7 ≈ 0,008969

Resposta

∫ 0 0,3 x 2 1 + x 4 d x ≈ 0,008969

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