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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.1 - Ex. 1

  1. Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = x y e acima do retângulo

    2. R = x , y | 0 ≤ x ≤ 6 ,   0 ≤ y ≤ 4

    Utilize a soma de Riemann com m = 3 , n = 2 e tome como ponto amostral o canto superior direito de cada sub-retângulo.

  2. Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do sólido da parte (a).

Passo 1

  1. Primeiro vamos ver na figura abaixo os subretângulos que vamos usar:

    2. Temos que a superfície é o gráfico de f x , y = x y e vamos ter que ∆ A é a área de cada retângulo, então ∆ A = 2.2 = 4 , e que m = 3 e n = 2 , então usando a soma de Riemann para estimar o volume temos:

    V ≈ ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 2 f x , y ∆ A = f 2,2 ∆ A + f 2,4 ∆ A + f 4,2 ∆ A + f 4,4 ∆ A + f 6,2 ∆ A + f 6,4 ∆ A

    = 4.4 + 8.4 + 8.4 + 16.4 + 12.4 + 24.4 = 288

    Passo 2

  2. Agora usando a regra do ponto médio a diferença vai ser no ponto do intervalo utilizado, que vai ser o ponto médio de cada intervalo, e no ∆ A , que será a área de cada subretângulo ( ∆ A = 2 ∙ 2 = 4 ):

V ≈ ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 2 f x - , y - ∆ A = f 1,1 ∆ A + f 1,3 ∆ A + f 3,1 ∆ A + f 3,3 ∆ A + f 5,1 ∆ A + f 5,3 ∆ A

= 1 . 4 + 3 . 4 + 3 . 4 + 9 . 4 + 5 . 4 + 15 . 4 = 144

Resposta

  1. V ≈ 288
  2. V ≈ 144
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Seja A o retângulo 1 = x = 2 , 0 = y = 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a:l) x s e n ( pi y )
Seja A o retângulo 1 = x = 2 , 0 = y = 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a:j) x y^2
Utilizando o Exercício 2, calcule: c )∬ A x ln ⁡ yd x d y , onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 2 .
Utilizando o Exercício 2, calcule: d )∬ A x y e x 2 - y 2d x d y , onde A é o retângulo - 1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 3 .
Sejam f ( x ) e g ( y ) duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos [ a , b ] e [ c , d ] . Prove que ∬ A f x g y d x d y = ∫ a b f x d x ∫ c d g y d y