Duas variáveis dependentes

Encontre ∂x/∂u e ∂y/∂u se as equações u = x² - y² e y = x² - y definem x e y como funções das variáveis independentes u e y, e as derivadas parciais existem. (Veja a sugestão do Exercício 69.) Em seguida, seja s = x² + y² e encontre ∂s/∂u.

Passo 1

Seguimos a dica dada na tarefa. Nosso procedimento aqui é direto. Recebemos 22 funções implícitas e sabemos que x=x(u,v) e y=y(u,v). Somos obrigados a encontrar x u   e   y u .

Passo 2

Vamos primeiro relembrar como diferenciamos as funções implícitas. Nesse caso, como x é uma função de u e v, a diferenciação implícita de x em relação a u significa que tratamos todos os termos que não contêm u, x ou y como uma constante. Quando encontramos x ou y, diferenciamos como se fosse igual a u e adicionamos x u ou y u como um termo adicional.

u = x 2 + y 2

v = x 2 - y

1 = 2 x x u + 2 y y u

0 = 2 x x u - y u

Mais uma vez, observe como usamos a diferenciação implícita nos termos do lado direito. Para elaborar ainda mais, na primeira equação sabemos que tanto x quanto y são funções de x e y. Diferenciamos a expressão como uma soma de duas funções. A diferenciação implícita de x 2 é x 2 ' x u = 2 x x u . Pela mesma analogia, diferenciamos y 2 .

2 x x u = - y u → x u = y u 2 x

1 = y u - 2 y y u → y u = 1 1 - 2 y

x u = 1 2 x 1 - 2 y

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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