Duas variáveis dependentes

Encontre ∂x/∂u e ∂y/∂u se as equações e definem x e y como funções das variáveis independentes u e y, e as derivadas parciais existem. (Veja a sugestão do Exercício 69.) Em seguida, seja e encontre ∂s/∂u.

Vamos primeiro relembrar como diferenciamos as funções implícitas. Nesse caso, como x é uma função de u e v, a diferenciação implícita de x em relação a u significa que tratamos todos os termos que não contêm u, x ou y como uma constante. Quando encontramos x ou y, diferenciamos como se fosse igual a u e adicionamos ou como um termo adicional.

Mais uma vez, observe como usamos a diferenciação implícita nos termos do lado direito. Para elaborar ainda mais, na primeira equação sabemos que tanto x quanto y são funções de x e y. Diferenciamos a expressão como uma soma de duas funções. A diferenciação implícita de é . Pela mesma analogia, diferenciamos .