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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.10 - Ex. 4

Encontrea. ((del w)/(del x))_y b. ((del w)/(del z))_y no ponto ( x , y , z ) = ( 0,1 , pi ) se

w = x^2 + y^2 + z^2 e y s e n z + z s e n x = 0

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício encontraremos(a) ((del w)/(del x))_y (b) ((del w)/(del z))_y No ponto ( x , y , z ) = ( 0,1 , pi ) se w = x^2 + y^2 + z^2 e y s e n z + z s e n x = 0

Passo 2

(a)O diagrama é:

([[x],[y]]) -> ([[x,=,x],[y,=,y],[z,=,z,(,x,,,y,)]]) -> w

E a derivada então será:

((del w)/(del x))_y = (del w)/(del x) (del x)/(del x) + (del w)/(del y) (del y)/(del x) + (del w)/(del z) (del z)/(del x)

Temos que

[[,(del y)/(del x),=,0],[,,(,y,c,o,s,,z,),(del z)/(del x),+,(,s,e,n,,x,),(del z)/(del x),+,z,c,o,s,,x,=,0]]

Assim: (del z)/(del x) = (- z c o s x)/(y c o s z + s e n x)

Passo 3

Usando o ponto ( 0,1 , pi ) :

[[,(del z)/(del x),=,(- pi)/(- 1)],[,(del z)/(del x),=,pi]]

Substituindo os valores encontrados na derivada temos:

[[,((del w)/(del x))_(y|_( 0,1 , n ),=,(,2,x,),(,1,),+,(,2,y,),(,0,),+,(,2,z,),(,pi,)_( 0,1 , pi )],[,Resposta:,((del w)/(del x))_(y|_( 0,1 , x ),=,2,pi^2]]

Passo 4

(b)diagrama será:

([[y],[z]]) -> ([[x,=,x,(,y,,,z,)],[y,=,y],[z,=,z]]) -> w

E a derivada será então:

[[,((del w)/(del x))_y,=,(del w)/(del x),(del x)/(del z),+,(del w)/(del y),(del y)/(del z),+,(del w)/(del z),(del z)/(del z)],[,((del w)/(del x))_y,=,(,2,x,),(del x)/(del z),+,(,2,y,),(,0,),+,(,2,z,),(,1,)],[,((del w)/(del x))_y,=,(,2,x,),(del x)/(del z),+,2,z]]

Temos também que

( s e n z ) (del y)/(del z) + y c o s z + s e n x + ( z c o s x ) (del x)/(del z) = 0 e (del y)/(del z) = 0

Isso nos leva a:

(del x)/(del z) = (- y c o s z - s e n x)/(z c o s x)

Passo 5

Usando o ponto ( 0,1 , pi ) encontramos que:

(del x)/(del z) = (1 - 0)/(( pi ) ( 1 )) = (1)/(pi)

Substituindo os valores encontrados, temos:

[[,((del w)/(del z))_y [ ( 0,1 , pi ),=,2,(,0,),((1)/(pi)),+,2,pi],[,Resposta:,((del w)/(del z))_y ( 0,1 , pi ),=,2,pi]]

Resposta

Resposta nos passos.

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