Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 14
Verifique se e são soluções da equação diferencial para . Depois mostre que não é, em geral, solução dessa equação. explique por que este resultado não contradiz o Teorema 3.2.2
Passo 1
Vamos primeiro verificar se as duas funções dadas pelo enunciado são soluções da equação diferencial. Para isso, vamos precisar derivar elas duas vezes antes de substituir na equação. Derivando :
E derivando :
Passo 2
Verificando :
Dá para ver que satisfaz a equação diferencial.
E fica o seguinte:
Resolvendo o produto e a potência:
A função satisfaz a equação.
Passo 3
Podemos dizer então que a função também não é solução já que uma das funções de antes aparece combinada com a outra, vamos mostrar substituindo ela na equação diferencial também. Primeiro derivamos:
Na equação diferencial fica:
Resolvendo o produto da esquerda e a potência na direita:
Podemos ver que não satisfaz a equação. Isso não contraria o teorema 3.2.2, já que tanto quanto devem ser soluções para que a combinação linear também seja.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)