Se o wronskiano W de f e g é t^2 \* e^t e se f(t) = t , encontre g(t) .

Passo 1

A questão deu para a gente o wronskiano e a função f , podemos usar essas informações para escrever uma equação diferencial de g . Para isso, vamos usar a definição do wronskiano:

W f ,   g = d e t f g f ' g ' = t 2 e t

O determinante fica:

W f , g = f g ' - g f ' = t 2 e t

Substituindo f t = t dado no enunciado:

t g ' - g = t 2 e t

Passo 2

Ao invés de escrevermos a equação na forma padrão, parece que vai ser mais fácil usarmos a equação do jeito que está. A equação é não homogênea como dá para ver, vamos resolver primeiro a homogênea dela:

t g ' - g = 0

Bom, é uma equação separável, vamos escrever ela em termos de diferenciais:

t d g = g d t

Separando:

d t t = d g g

Integrando dos dois lados:

ln ⁡ t = ln ⁡ g c 1

Aplicando função exponencial dos dois lados para cortar os ln:

g ( t ) = c 1 t

A constante aparece por conta do grau de liberdade da equação diferencial.

Passo 3

Para o caso da não homogênea, basta somarmos uma função parecida com t 2 e t na solução que encontramos no último passo, se usarmos a própria t 2 e t , a equação diferencial não vai ser satisfeita, por causa do t que está multiplicando g ' , então a gente divide t 2 e t por t para compensar:

t 2 e t t = t e t

Somando o resultado na solução que calculamos antes:

g t = c 1 t + t e t

Pronto, essa vai ser nossa g ( t ) .

Resposta

g t = c 1 t + t e t

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