Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 18
Se o wronskiano de e é e se , encontre .
Passo 1
A questão deu para a gente o wronskiano e a função , podemos usar essas informações para escrever uma equação diferencial de . Para isso, vamos usar a definição do wronskiano:
O determinante fica:
Substituindo dado no enunciado:
Passo 2
Ao invés de escrevermos a equação na forma padrão, parece que vai ser mais fácil usarmos a equação do jeito que está. A equação é não homogênea como dá para ver, vamos resolver primeiro a homogênea dela:
Bom, é uma equação separável, vamos escrever ela em termos de diferenciais:
Separando:
Integrando dos dois lados:
Aplicando função exponencial dos dois lados para cortar os ln:
A constante aparece por conta do grau de liberdade da equação diferencial.
Passo 3
Para o caso da não homogênea, basta somarmos uma função parecida com na solução que encontramos no último passo, se usarmos a própria , a equação diferencial não vai ser satisfeita, por causa do que está multiplicando , então a gente divide por para compensar:
Somando o resultado na solução que calculamos antes:
Pronto, essa vai ser nossa .