O que significa para uma função ƒ(x, y) ser diferenciável?

O que o teorema do incremento diz sobre a diferenciabilidade?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício de revisão, vamos relembrar o que significa uma função f ( x , y ) ser diferenciável. Você se lembra sobre o que o teorema do incremento diz sobre a diferenciabilidade?

Passo 2

Como você estudou, a diferenciabilidade para uma função de duas variáveis independentes não é como para uma função de única variável, ou seja, uma diferença em um quociente, mas sim mais uma idéia de incremento.

Passo 3

A idéia de diferenciabilidade, nesse caso, é uma situação análoga à propriedade para uma função de única variável que diz

Δ y = f ' x 0 Δ x + ϵ Δ x

Passo 4

Assim, o teorema do incremento (teorema 3, da seção 14.2) se relaciona de maneira similar como para uma função de uma única variável. Assim, dizemos que:se z = f ( x , y ) é diferenciável em x 0 , y 0 , se f x x 0 , y 0 e f y x 0 , y 0 existir e Δ z satisfaz a equação da forma

Δ z = f x x 0 , y 0 Δ x + f y x 0 , y 0 Δ y + ϵ 1 Δ x + ϵ 2 Δ y

Em que cada ϵ 1 , ϵ 2 → 0 conforme Δ x , Δ y → 0

Resposta

Resposta nos passos.

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