Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 22

Mostre que o maior retângulo tendo um perímetro dado de unidades é um quadrado.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

No Exercício 10 dessa mesma seção, nós fizemos um exercício que nos deu uma resposta parecida com a que o exercício atual quer que mostremos. Mas vamos lá! A questão quer o maior retângulo, então a função que queremos maximizar é a função área do retângulo! Seja um retângulo com comprimento e largura , sua área será dada pela seguinte equação:

Mas nesse caso o perímetro do retângulo é conhecido e é dado pela equação:

Se isolarmos uma das variáveis aqui podemos jogá-la na função da área e ficar com uma variável só! Isolando o :

Agora jogando isso na equação da área:

Temos a nossa função! Agora é só derivá-la em função de e igualá-la a para encontrar o ponto de máximo para .

Passo 3

Derivando:

Igualando a :

Passo 4

Agora precisamos analisar o resultado que encontramos. Encontramos que é responsável por do perímetro do retângulo, então os dois lados do retângulo que possui tamanho juntos são responsáveis por do perímetro. Então os outros dois lados de tamanho devem ser responsáveis pela outra metade do perímetro! E se o perímetro é dividido igualmente para cada lado, ! Podemos mostrar isso analiticamente também, da relação acima podemos isolar o