Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 13
Determine o ponto do plano cuja soma dos quadrados das distâncias a e seja mínima.
Passo 1
Queremos achar o ponto do plano tal que a soma dos quadrados das distâncias até os pontos e seja a menor possível. Para isso, se o ponto está no plano, ele satisfaz
Portanto,
A distância ao quadrado desse ponto ao ponto é
Já a distância até será
Somando esses dois termos:
Essa é a função que temos que minimizar.
Passo 2
Derivando:
Assim,
Portanto,
Assim, obtemos
Este é o único ponto crítico de . Como é uma forma quadrática, se esse ponto for mínimo local, ele será também mínimo global.
Passo 3
Tomando as segundas derivadas:
Assim, o hessiano será
Assim, como e , é ponto de mínimo local. Como é uma forma quadrática, este ponto também é mínimo global (ver exercício 2).
Por fim, como :
Logo, o ponto pedido é