Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 19
Seja e considere, para cada , a função . Verifique que é ponto de máximo local de mas que não é ponto de máximo local de .
Passo 1
A questão fornece uma função de duas variáveis
Além disso, é definida uma nova função dada por
onde e são números (componentes de um vetor). Note que é uma função de uma variável, enquanto é de duas!
Temos que mostrar que é ponto de máximo local de , mas que não é ponto de máximo local de .
Passo 2
Note que pode ser escrita como
Como se trata de uma função de uma única variável (), temos que
Vemos que é ponto crítico de pois . Tomando a secunda derivada:
Como a segunda derivada é nula, o teste da segunda derivada é inclusivo para descobrir se é ponto de máximo ou não. Então vamos continuar derivando:
Para polinômios, se as duas primeiras derivadas se anulam, a primeira derivada não nula determina a concavidade. Como ela é negativa, a concavidade é para baixo, de modo que é ponto de máximo local de .
Passo 3
Agora vamos voltar para . Derivando:
Vemos então que é ponto crítico de . Tomando as segundas derivadas:
Como todas as derivadas se anulam, nem adianta tentar fazer o teste do hessiano por . Mas vamos olhar com carinho para uma coisa:
Se continuarmos derivando:
Note que a primeira derivada parcial a não se anular é a quarta: com relação a ela é negativa, com relação a ela é nula. Como se trata de um polinômio e as primeiras derivadas a não se anularem não concordam, não pode ser ponto de máximo local de ,
Resposta
Demonstração.