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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 72

Mostre que, para quaisquer constantes A e B , a função y   =   A e 2 x   +   B e - 4 x satisfaz a equação y ' '   +   2 y '   -   8 y   =   0

Passo 1

Já que o enunciado fala sobre a primeira e a segunda derivadas da nossa função, vamos começar achando elas:

y ' = A e 2 x   +   B e - 4 x '

y ' = 2 x ' A e 2 x + - 4 x ' B e - 4 x

Então:

y ' = 2 A e 2 x - 4 B e - 4 x

Passo 2

Vamos achar a derivada segunda agora? Pra isso basta derivar y '

y ' ' = ( y ' ) ' = ( 2 A e 2 x - 4 B e - 4 x ) '

y ' ' = 2 x '   2 A e 2 x - - 4 x '   4 B e - 4 x

Então:

y ' ' = 4 A e 2 x +   16 B e - 4 x

Passo 3

Bora pegar agora todas essas expressões que a gente encontrou e vamos jogar dentro de

y ' '   +   2 y '   -   8 y  

Para ver se de fato isso dá zero.

Quando a gente faz isso fica assim olha:

4 A e 2 x +   16 B e - 4 x   +     2 2 A e 2 x - 4 B e - 4 x   -       8 A e 2 x   +   B e - 4 x

( 4 A e 2 x +   16 B e - 4 x ) + ( 4 A e 2 x - 8 B e - 4 x )   - ( 8 A e 2 x   +   8 B e - 4 x )

( 4 A e 2 x + 4 A e 2 x - 8 A e 2 x   ) +   ( 16 B e - 4 x - 8 B e - 4 x -   8 B e - 4 x )

0 + 0 = 0

Então mostramos que vale a expressão y ' '   +   2 y '   -   8 y   =   0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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