1. Use a Fórmula (2) para provar que:
  2. (d/dx | arcocotg x) x = 0 = -1

  3. Use a parte (a) anterior, a parte (a) do Exercício 50 na Seção 0.4 e a Regra da Cadeia para mostrar que:
  4. d/dx [ arcotg x ] = - 1 / (1 + x^2)

    Com -∞ < x < +∞

  5. Conclua da parte (b) que:

d/dx [ arcotg u ] = - (1 / (1 + u^2)) * (du/dx)

Com -∞ < u < +∞

Passo 1

(a)

Lembrando que a Fórmula (2) diz que:

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f ( x 0 ) h  

No caso dessa questão x 0 = 0 . Então

d d x a r c   c o t g   x x = 0 =   lim h → 0 ⁡ a r c   c o t g   h - a r c   c o t g   ( 0 ) h

Como a r c   c o t g   0 =   π / 2

lim h → 0 ⁡ a r c   c o t g   h - a r c   c o t g   ( 0 ) h =   π 2 - π 2 0 = 0 0

Como chegamos numa indeterminação 0 0 podemos usar a chama da regra de L’Hôpital que está no capítulo 3 seção 6 (3.6) deste livro.

Passo 2

Essa regra diz que se chegarmos numa indeterminação do tipo 0 0 ou ∞ ∞   podemos derivar o numerador e o denominador e o valor do limite será mantido.

Aplicando a regra de L’Hôpital ficaremos com a seguinte expressão:

lim h → 0 ⁡ a r c   c o t g   h - π / 2 h = lim h → 0 ⁡ ( a r c   c o t g   h - π / 2 ) ' ( h ) '

Usando que d d x a r c   c o t g   x =   -   1 1 + x 2

Ficamos com a expressão assim:

lim h → 0 ⁡ ( a r c   c o t g   h - π / 2 ) ' ( h ) ' =   lim h → 0 ⁡ -   1 1 + x 2 1 = lim h → 0 ⁡ -   1 1 + x 2

Agora temos que esse limite que chegamos tem o mesmo valor do limite original, e além disso:

lim h → 0 ⁡ -   1 1 + x 2       =         - 1 1 + 0 2     =       - 1

Então chegamos exatamente aonde queríamos provar:

d d x a r c   c o t g   x x = 0     =     - 1

Passo 3

(b)

O Exercício 50 na Seção 0.4 diz que

Considerando como verdadeira essa afirmação, vamos derivar as expressões

Pra x > 0

d d x [ a r c cotg ⁡ x ] = d d x [ a r c   t g   1 x ]

Como

d d u a r c   t g   u = 1 1 + u 2

Vamos achar que:

d d x [ a r c cotg ⁡ x ]       =     d d x a r c   t g   1 x         =     1 1 + 1 x 2     1 x '

d d x [ a r c cotg ⁡ x ]     =     x 2 x 2 + 1     - 1 x 2 =   =   -   1 1 + x 2

Como queria

Passo 4

Agora para x < 0

d d x [ a r c cotg ⁡ x ]     =       d d x π + a r c   t g   1 x     =         d π d x + d d x [ a r c   t g   1 x ]

Como π   é constante sua derivada é zero:

d d x [ a r c cotg ⁡ x ] = d d x [ a r c   t g   1 x ]

A partir daí a demonstração se torna igual ao caso em que x > 0

Então mostramos que de fato vale a relação:

d d x a r c   c o t g   x =   -   1 1 + x 2

Pra - ∞ < x < + ∞

Passo 5

(c)

Sendo u uma função de x , basta aplicarmos a regra da cadeia em d d x a r c   c o t g   u , usando o resultado da letra (b) chegaremos que

d d x a r c   c o t g   u =   -   1 1 + u 2   d u d x

Pra - ∞ < x < + ∞

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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