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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 25

Mostre, por referência a uma figura, que o ângulo β entre as tangentes a duas curvas em um ponto de intersecção pode ser encontrado a partir da fórmula:

t g   β = t g   ψ 2 - t g   ψ 1 1 + t g     ψ 2   t g   ψ 1

Quando ocorrerá a intersecção das duas curvas em ângulos retos?

Passo 1

Fala minha galera querida!! Se o ângulo β é formado pela tangente de duas curvas, então,

β = ψ 2 - ψ 1

t g   β = t g   ψ 2 - ψ 1

E para quem se lembra da formula da subtração de dois ângulos na tangente,

t g   β = t g   ψ 2 - t g   ψ 1 1 + t g     ψ 2   t g   ψ 1

Passo 2

Caso a tangente possua ângulo reto, então ela é indefinida, isto é, t g   β é indefinida ou se,

t g   ψ 2 - t g   ψ 1 1 + t g     ψ 2   t g   ψ 1 = i n d e f i n i d o

Para que essa função seja indefinida o denominador deve zerar, então, t g     ψ 2 = - 1 t g     ψ 1 , ou seja, a multiplicação das tangentes deve ser -1, e quem são essas tangentes? Elas são formadas pela curva r dividida por uma função derivada de uma ângulo θ qualquer:

t g     ψ 2 ⋅ t g     ψ 1 = - 1

r g ' ( θ ) ⋅ r f ' ( θ ) = - 1

r 2 = - f ' θ g ' ( θ )

Bora pro próximo.

Resposta

Demonstração

Intersecção em r 2 = - f ' θ g ' ( θ ) .

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