Suponha que |f (x) - f (1)| <= (x - 1)^2 para todo x . Prove que f é contínua em 1 .

Passo 1

A definição de continuidade de uma função, nos diz que para todo ϵ , um número positivo, existe delta , também positivo de modo que para um x qualquer do domínio, a função é contínua em 1 se:

|x - 1| < delta => |f (x) - f (1)| < ϵ

Passo 2

Se tomarmos delta = sqrt(ϵ) temos:

|x - 1| < sqrt(ϵ) => |f (x) - f (1)| < ϵ

|x - 1| < sqrt(ϵ)

(x - 1)^2 < ϵ

Como foi dado que |f (x) - f (1)| <= (x - 1)^2 , então

|f (x) - f (1)| <= (x - 1)^2 < ϵ

|f (x) - f (1)| < ϵ

Logo, a afirmação |x - 1| < delta => |f (x) - f (1)| < ϵ é verdadeira, e consequentemente provamos que f é contínua em x = 1 .

Resposta

Desenvolvimento Acima

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