Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades A1 a (A4) , (M1) a M(4) , D , O1 a (O 4) , (OA) e (O M) . Supondo x , y reais quaisquer, prove:

x > 0 ↔ x^(-1) > 0

Passo 1

Pela propriedade M 4 temos que para x ≠ 0 :

x ∙ x - 1 = 1

Portanto temos também que x - 1 ≠ 0 .

Assim, para x ≠ 0 temos:

x - 1 ∙ x - 1 > 0

Vamos supor agora x > 0 e multiplicar ambos os membros da ultima desigualdade por x :

x - 1 ∙ x - 1 > 0 → x ∙ x - 1 ∙ x - 1 > x ∙ 0

Pela propriedade associativa M 1 temos:

x ∙ x - 1 ∙ x - 1 = x ∙ x - 1 ∙ x - 1

Agora lembrando que x ∙ x - 1 = 1 , substutindo ficamos com:

x ∙ x - 1 ∙ x - 1 > x ∙ 0 → x ∙ x - 1 ∙ x - 1 > x ∙ 0 → 1 ∙ x - 1 > x ∙ 0 → x -   1 > 0

Assim, se x 2 > 0 teremos também x - 1 > 0 .

Supondo agora x - 1 > 0 teremos que x ≠ 0 e portanto, x 2 > 0 .

Vamos multiplicar os dois membros por x - 1 e lembrando de O M :

x 2 > 0 → x - 1 ∙ x 2 > x - 1 ∙ 0 → x - 1 ∙ x ∙ x > 0 → 1 ∙ x > 0 → x > 0

Provamos então que x > 0 é equivalente a x - 1 > 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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