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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 51

Mostre que y 1 = x 2   e   y 2 = x 3 são ambas soluções para

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

As funções c 1 y 1   e   c 2 y 2 , com c 1 e   c 2 constantes arbitrárias são também soluções? A soma y 1 + y 2 é uma solução?

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, a gente quer saber se   y 1 = x 2   e     y 2 = x 3   são soluções da equação x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0 . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

Vamos fazer cada caso separadamente...

Primeiro y 1 = x 2 .

Temos:

y 1 ' = 2 x

y 1 ' ' = 2

Passo 2

Substituindo agora:

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

x 2 2 - 4 x 2 x + 6 x 2 = 0

2 x 2 - 8 x 2 + 6 x 2 = 0

0 = 0

Então vimos que y 1 = x 2 é solução!

Passo 3

Agora vamos ver y 2 = x 3 . Temos:

y 2 ' = 3 x 2

y 2 ' ' = 6 x

E substituindo...

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

x 2 6 x - 4 x 3 x 2 + 6 x 3 = 0

6 x 3 - 12 x 3 + 6 x 3 = 0

0 = 0

Então y 2 = x 3 também é solução!

Passo 4

Agora a gente tem que ver se c 1 y 1   e   c 2 y 2 são soluções também. Vamos ver então...

f 1 = c 1 x 2

f 1 ' = 2 c 1 x

f 1 ' ' = 2 c 1

Testando na equação:

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

x 2 2 c 1 - 4 x 2 c 1 x + 6 c 1 x 2 = 0

2 c 1 x 2 - 8 c 1 x 2 + 6 c 1 x 2 = 0

0 = 0

Então vimos que c 1 y 1 também é solução!

Passo 5

E agora c 2 y 2 :

f 2 = c 2 x 3

f 2 ' = 3 c 2 x 2

f 2 ' ' ' = 6 c 2 x

Substituindo na equação:

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

x 2 6 c 2 x - 4 x 3 c 2 x 2 + 6 c 2 x 3 = 0

6 c 2 x 3 - 12 c 2 x 3 + 6 c 2 x 3 = 0

0 = 0

Então também é solução!

Passo 6

Agora só falta saber se y 1 + y 2 é solução. Vamos ver...

g = y 1 + y 2 = x 2 + x 3

Aí teremos:

g ' = 2 x + 3 x 2

g ' ' = 2 + 6 x

Vamos substituir na equação:

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

x 2 2 + 6 x - 4 x 2 x + 3 x 2 + 6 x 2 + x 3 = 0

2 x 2 + 6 x 3 - 8 x 2 - 12 x 3 + 6 x 2 + 6 x 3 = 0

0 = 0

E também é solução!

Ufaa... acabamos!

Resposta

Todos são soluções.

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