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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 2

Os problemas de 1 a 6 envolvem equações da forma d y / d t = f y . Em cada problema, esboce o gráfico de f ( y ) em função de y , determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano t y

Passo 1

2- Primeiro, fazemos o gráfico da função f ( y ) , que é:

d y / d t = a y + b y 2

Onde a ,   b > 0 e a população inicial está no intervalo - ∞ < y 0 < ∞ . Vamos considerar a = 1 e b = 2 para podermos esboçar o gráfico:

Passo 2

Para fazermos a reta de fase, vamos precisar dos gráficos das soluções:

Passo 3

Podemos ver que algumas soluções crescem com concavidade voltada para cima, outras crescem com concavidade voltada para baixo e também decrescem quase que linearmente, além disso temos uma reta em y = 0 . Assim, nossa reta de fase vai ter a seguinte cara:

Os pontos y = 0 e y = - a / b serão os pontos de equilíbrio da função, como dá para ver, as soluções em torno de y = 0 ‘divergem’ dessa solução então ela será assintoticamente instável, enquanto as soluções em torno de y = - a / b ‘convergem’ o que significa que ela será estável. Mais formalmente, y ' > 0 quando y > 0 ou y < - a / b , e y ' < 0 quando - a / b < y < 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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