Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 23-b
23 . (a) Mostre que é uma solução de y′ – 2y = 0 e que y = cϕ(t) também é solução dessa equação para qualquer valor da constante c.(b) Mostre que ϕ(t) = 1/t é uma solução de = 0 para t > 0, mas que y = cϕ(t) não é solução dessa equação, a menos que c = 0 ou c = 1. Note que a equação no item (b) é não linear, enquanto a no item (a) é linear.
Passo 1
Iradoso então galerinha, aqui pra gente poder provar que a função é uma solução da equação diferencial , temos duas opções, podemos substituir na equação diferencial e derivar pra ver se realmente ela respeita a condição, ou podemos encontrar a solução geral integrando os termos
MAAASSS, geralmente derivar é um processo mais fácil que a integrar, por isso vamos tentar esse caminho primeiro pra ver se conseguimos provar a existência da solução.
Passo 2
Temos então a função , substituindo na equação diferencial , obtemos
Ai ficou show de bola, conseguimos mostrar que realmente é uma solução da equação diferencial.
Passo 3
Agora, queremos verificar se também é uma solução da equação diferencial, podemos realizar o mesmo processo de substituição
E agora, como a gente é malandrão, vamo fazer um ajustezinho ali colocando o em evidência
Agora ta ficando show de bola, acabamos de ver que quando substituímos a solução , na equação diferencial não linear , chegamos em uma equação no segundo grau, e resolvendo ela
Vemos que as soluções são e , isso quer dizer que a função vai ser solução da equação diferencial somente quando assumir esses valores! Show de bolinhas né não!!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)