Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 21
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
21.
Passo 1
Pelo termo dado no meio da soma, nossa série vai ter a seguinte cara:
E pelo teste da razão:
Se , a série converge, e se , diverge.
Pela série que temos, o teste fica assim:
Reescrevendo a razão como o produto entre o numerador e o inverso do denominador:
E tirando do módulo, os termos e , perderão o sinal alternado, resultando em 1 para cada membro da sequência, então podemos fazer eles desaparecerem:
Simplificando os termos dos produtos:
Passo 2
Se aplicarmos o limite agora, teremos uma indeterminação do tipo , vamos então abrir o fatorial do numerador para podermos simplificar ele:
Como ainda estamos com a mesma indeterminação, colocamos o em evidencia no denominador e no numerador:
E simplificamos:
Passo 3
Agora sim podemos aplicar o limite, pois os termos tendem para zero, e só sobra:
Que é menor que 1, o que significa que a série é convergente.