Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis.

w = f(x, y, z)

Onde

x = x(u, v)

y = y(u, v)

z = z(u, v)

Passo 1

Oie, meu amigo. Tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Basicamente a gente vai escrever a regra da cadeia aqui para todas as variáveis que existem em w , é isso que a questão quer.

Veja que ao aplicarmos a regra da cadeia, derivamos mais externamente para o mais interno. Isso é um pouco confuso mas iremos ver melhor com o desenho da arvore.

Mas lembre-se que, dada uma função w = f x , y , z , a derivada da função em relação a x , y , z onde as próprias variáveis são em função de outras variáveis, segue da seguinte forma:

w u = w x ⋅ x u + w y ⋅ y u + w z ⋅ z u

w v = w x ⋅ x v + w y ⋅ y v + w z ⋅ z v

Passo 2

Observe que, a partir da regra da cadeia acima, obteremos as derivadas parciais de w em relação a x , y e z . Portanto, ao fazer um diagrama em árvore, x , y e z estarão conectados a w . Além disso, estamos obtendo a derivada de x , y e z em relação a u e v . Portanto, u e v estarão conectados a x , y e z . Assim, o diagrama em árvore ficará assim.

Resposta

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , (a) determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ e (b) mostre que ( ∂z/∂x )^2 + ( ∂z/∂y )^2 = ( ∂z/∂r )^2 + 1/r
Use a Regra da Cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t .7. z = x^2 * y^3, x = s * cos(t), y = s * sen(t)
Use a regra da cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t z = arcsen(x - y) x = s^2 + t^2 y = 1 - 2st
Use a regra da cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t z = sen(θ) ⋅ cos(ϕ) θ = s * t^2 ϕ = s^2 t
Use a Regra da Cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t .z = e^(x + 2y) x = s / t y = t / s