Mostre que, para todo x ,

s e n   x = lim n → ∞ ⁡ x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - … + - 1 n   x 2 n + 1 2 n + 1 ! n    

Ou

sen x = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

Passo 1

Bem, para todo x , existe um   x -   entre 0 e x , tal que:

sen ⁡ x = sin ⁡ 0 + x cos ⁡ 0 - x 2 2 sin ⁡ x - x 3 3 ! cos ⁡ x + … + - 1 n n !   x n d n d x ' n sin ⁡ x ' x ' = 0            

Ou sejam

sen ⁡ x = 0 + x - x 2 2   0 - x 3 3 !   + x 4 4 ! 0 + x 5 5 ! + …

Podemos notar que só os termos com expoentes impares sobrevivem e o ultimo termo a sobreviver é aquele que pode ser escrito na forma:

- 1 n 2 n + 1 !   x 2 n + 1

Pois a expressão 2 n + 1 garante que o número vai ser impar e o termo - 1 n garante a troca de sinal. Dessa forma, temos:

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + …

Ou colocando o ultimo termo:

s e n   x = lim n → ∞ ⁡ x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - … + - 1 n   x 2 n + 1 2 n + 1 ! n  

Resposta

s e n   x = lim n → ∞ ⁡ x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - … + - 1 n   x 2 n + 1 2 n + 1 ! n  

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