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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 4

Mostre que, para todo x ,

s e n x = underset(n -> oo)(lim) [x - (x^3)/(3 !) + (x^5)/(5 !) - ... + (- 1)^n (x^(2 n + 1))/((2 n + 1) !)^n]

Ou

s e n x = x - (x^3)/(3 !) + (x^5)/(5 !) - (x^7)/(7 !) + ...

Passo 1

Bem, para todo x , existe um   overset(-)(x) entre 0 e x , tal que:

sen x = sin 0 + x cos 0 - (x^2)/(2) sin x - (x^3)/(3 !) cos x + ... + ((- 1)^n)/(n !) x^n [(d^n)/(d x^'^n) sin (x^')]_x^' = 0_

Ou sejam

sen x = 0 + x - (x^2)/(2) 0 - (x^3)/(3 !) + (x^4)/(4 !) 0 + (x^5)/(5 !) + ...

Podemos notar que só os termos com expoentes impares sobrevivem e o ultimo termo a sobreviver é aquele que pode ser escrito na forma:

((- 1)^n)/((2 n + 1) !) x^(2 n + 1)

Pois a expressão 2 n + 1 garante que o número vai ser impar e o termo (- 1)^n garante a troca de sinal. Dessa forma, temos:

s e n x = x - (x^3)/(3 !) + (x^5)/(5 !) - (x^7)/(7 !) + ...

Ou colocando o ultimo termo:

s e n x = underset(n -> oo)(lim) [x - (x^3)/(3 !) + (x^5)/(5 !) - ... + (- 1)^n (x^(2 n + 1))/((2 n + 1) !)^n]

Resposta

s e n x = underset(n -> oo)(lim) [x - (x^3)/(3 !) + (x^5)/(5 !) - ... + (- 1)^n (x^(2 n + 1))/((2 n + 1) !)^n]

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