Mostre que a função E(t) dada por:

1 / (1 + t) = 1 - t + t^2 - t^3 + … + (-1)^n * t^n + E(t)

É contínua em ] - 1 , + ∞ [

Passo 1

Bem, primeiramente vamos isolar E ( t ) de forma a visualizar sua dependência de t :

E (t) = (1)/(1 + t) - 1 + t - t^2 + t^3 + ... + (- 1)^(n + 1) t^n

O termo (- 1)^(n + 1) fica dessa forma pois ele troca de sinal quando muda de lado da igualdade. Dessa forma, vemos que a função E ( t ) é compostosta pela soma de duas funções. Uma polinomial:

P (t) = - 1 + t - t^2 + t^3 + ... + (- 1)^(n + 1) t^n

E uma função que depende de um polinômio no denominador:

G (x) = (1)/(1 + t)

Toda função polinomial é continua em todo R^2 , já a função com polinômio no denominador é continua em todos os números reais, com excessão das raizes do polinômio. Dessa forma, a função G ( x ) é continua em todos os números reais com excessão do ponto t = - 1 . A continuidade da função E (t) é dada pela interseção da continuidade das funções P (t) e G ( t ) . Dessa forma, ela é continua em ] - oo , - 1 [U] - 1 , + oo [ .

Resposta

E (t) é continua em ] - 1 , + oo [

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