Mostre que a função E(t) dada por:

1 / (1 + t) = 1 - t + t^2 - t^3 + ... + (-1)^n \* t^n + E(t)

É contínua em ] -1 , +infinito [

Passo 1

Bem, primeiramente vamos isolar E ( t ) de forma a visualizar sua dependência de t :

E t =   1 1 + t -   1 + t - t 2 + t 3 + … + - 1 n + 1   t n

O termo - 1 n + 1 fica dessa forma pois ele troca de sinal quando muda de lado da igualdade. Dessa forma, vemos que a função E ( t ) é compostosta pela soma de duas funções. Uma polinomial:

P t =   -   1 + t - t 2 + t 3 + … + - 1 n + 1   t n

E uma função que depende de um polinômio no denominador:

G x = 1 1 + t

Toda função polinomial é continua em todo R 2 , já a função com polinômio no denominador é continua em todos os números reais, com excessão das raizes do polinômio. Dessa forma, a função G ( x ) é continua em todos os números reais com excessão do ponto t   =   - 1 . A continuidade da função E t é dada pela interseção da continuidade das funções P t e G ( t ) . Dessa forma, ela é continua em ] - ∞ ,   - 1     U       - 1 ,   + ∞ [ .

Resposta

E t é continua em ] - 1 ,   + ∞ [

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