Mostre que a função E(t) dada por:

1 / (1 + t) = 1 - t + t^2 - t^3 + … + (-1)^n * t^n + E(t)

É contínua em ] - 1 , + ∞ [

Passo 1

Bem, primeiramente vamos isolar E ( t ) de forma a visualizar sua dependência de t :

E (t) = (1)/(1 + t) - 1 + t - t^2 + t^3 + ... + (- 1)^(n + 1) t^n

O termo (- 1)^(n + 1) fica dessa forma pois ele troca de sinal quando muda de lado da igualdade. Dessa forma, vemos que a função E ( t ) é compostosta pela soma de duas funções. Uma polinomial:

P (t) = - 1 + t - t^2 + t^3 + ... + (- 1)^(n + 1) t^n

E uma função que depende de um polinômio no denominador:

G (x) = (1)/(1 + t)

Toda função polinomial é continua em todo R^2 , já a função com polinômio no denominador é continua em todos os números reais, com excessão das raizes do polinômio. Dessa forma, a função G ( x ) é continua em todos os números reais com excessão do ponto t = - 1 . A continuidade da função E (t) é dada pela interseção da continuidade das funções P (t) e G ( t ) . Dessa forma, ela é continua em ] - oo , - 1 [U] - 1 , + oo [ .

Resposta

E (t) é continua em ] - 1 , + oo [

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Seja f derivável até 2ª ordem no intervalo fechado [a, b] e seja x0 ∈ [a, b] . Mostre que existem M0 tal que, para todo x em [a, b] |f(x) - P(x)| ≤ M * |x - x0|^2 Onde P(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0)
Seja f derivável até 2ª ordem no intervalo I e seja x 0 ∈ I . Mostre que existe uma função ϕ ( x ) definida em I tal que, para todo x em I f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ϕ x x
Mostre que para todo x ,cos x = underset(n - oo)(lim) [1 - (x^2)/(2) + (x^4)/(4 !) - (x^6)/(6 !) + . . . + (- 1)^n (x^(2 n))/((2 n) !)^()] Oucos x = 1 - (x^2)/(2) + (x^4)/(4 !) - (x^6)/(6 !) + . . .
Mostre que, para todo x- 1 ,ln (x + 1) = x - (x^2)/(2) + (x^3)/(3) - (x^4)/(4) + ... + (- 1)^n (x^(n + 1))/(n + 1) + int_0^x E (t) d t
int_0^1 e^(- x^2) d x