int_0^1 s e n x^2 d x

Passo 1

Vamos utilizar o resultado do item 2, que diz que o erro da aproximação de sen x é :

Delta <= (|x|^(2 ( n + 2 )))/((n + 2) !)

Para saber o erro da integral, basta integrar, dessa forma temos:

int_0^1 (|x|^(2 ( n + 2 )))/((n + 2) !) d x = (1^(2 n + 5))/(( 2 n + 5 ) (n + 2) !) = (1)/(( 2 n + 5 ) (n + 2) !)

Dessa forma, temos que:

(1)/(( 2 n + 5 ) (n + 2) !) < 10^(- 3)

Por tentative e erro temos que n é igual a 3. Portanto, vamos fazer a seguinte aproximação:

S i n x ∼ x^2 - (x^6)/(3 !) + (x^(10))/(5 !)

Colocando na integral:

int_0^1 (x^2 - (x^6)/(3 !) + (x^(10))/(5 !)) d x = (x^3)/(3) - (1)/(7) (x^7)/(3 !) + (1)/(11) (x^(11))/(6 !)

Temos:

int_0^1 S i n x ∼ (1^3)/(3) - (1)/(7) (1^7)/(3 !) + (1)/(11) (1^(11))/(6 !) = 0.310

Resposta

int_0^1 S i n x ∼ 0.310

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Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.14. f(x) = (1 - x)^(-1/2); a = 0; n = 3
Estime o erro que se comete quando raiz(1 + x) é substituído por 1 + (1 / 2)x² ² se 0x0,01 .
Calcule o valor exato de e até a quinta casa decimal e prove que sua resposta tem a precisão pedida.
Estime o erro que se comete quando cos(x) é substítuido por 1 - (1 - 1/2)x² ² se |x|0,1 .
Verifique quesen(x) = x + o(x^2)