Enunciado

A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto 1,2 , 2 é 120 º .

  1. Encontre a taxa de variação de T em 1,2 , 2 na direção em direção ao ponto 2,1 , 3 .
  2. Mostrar que em qualquer ponto da bola a direção de maior aumento de temperatura é dada por um vetor que aponta para a origem.

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver juntos essa atividade aqui.

Nesta tarefa, precisamos calcular a taxa de variação na direção dada.

Primeiro, escreveremos a função descrita no exercício e usaremos os dados fornecidos para calcular os detalhes desconhecidos.

Para encontrar a derivada da função dada na direção, vamos calcular o gradiente da função dada no ponto dado.

Em seguida, calcularemos o produto ponto com o vetor de unidade calculado.

Pela descrição do problema, a fórmula é:

T = K x 2 + y 2 + z 2

Onde K é uma constante. Iremos utilizar o ponto:

T 1,2 , 2 = 120

Para encontrar o valor dessa constante.

Passo 2

Então vamos para a letra a):

T = K x 2 + y 2 + z 2

A gente sabe que:

T 1,2 , 2 = 120

Então:

120 = K 1 2 + 2 2 + 2 2

k = 360

Com a fórmula poderemos encontrar a derivada direcional, que nos dirá a taxa de variação. Então vamos encontrar o vetor v que liga o ponto 1,2 , 2 ao ponto 2,1 , 3 .

v = 2 i + j + 3 k - i + 2 j + 2 k

v = ( i - j + k )

Agora a gente precisa do vetor unitário desse vetor v :

u = v v = i 3 + - j 3 + k 3

Agora a gente calcular a derivada direcional na direção do vetor v :

D u T 1,2 , 2 = ∇ T 1,2 , 2 ⋅ u

Agora a gente vai calcular o gradiente de T :

∇ T = T x ,   T y ,   T z

Então temos:

∇ T x , y , z = - 360 x x 2 + y 2 + z 2 3 2 ,   - 360 y x 2 + y 2 + z 2 3 2 ,   - 360 z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Então a derivada direcional é:

D u T 1,2 , 2 = 360 x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 x , y , z ⋅ u

Realizando o produto vetorial:

D u T =   - 40 3 1,2 , 2 ⋅   1 3     1 , - 1,1

Temos então:

D u T 1,2 , 2 =   - 40 3 3

Passo 3

Agora a gente vai para a letra b)

Da letra a) a gente sabe:

∇ T x , y , z = - 360 x x 2 + y 2 + z 2 3 2 ,   - 360 y x 2 + y 2 + z 2 3 2 ,   - 360 z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Que pode se escrita da seguinte forma:

∇ T = 360 ( x ² + y ² + z ² ) - 3 2 ⋅ x , y , z

O vetor posição do ponto x , y , z é x , y , z . O vetor que aponta de x , y , z para origem é - x , y , z . Então, para o vetor - x , y , z o aumento de ∇ T é nessa direção.

Resposta

  1. D u T 1,2 , 2 =   - 40 3 3
  2. Ver o desenvolvimento.
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