Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 31
A temperatura em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto é .
- Encontre a taxa de variação de em na direção em direção ao ponto.
- Mostrar que em qualquer ponto da bola a direção de maior aumento de temperatura é dada por um vetor que aponta para a origem.
Passo 1
Oie, tudo bem? Vamos resolver juntos essa atividade aqui.
Nesta tarefa, precisamos calcular a taxa de variação na direção dada.
Primeiro, escreveremos a função descrita no exercício e usaremos os dados fornecidos para calcular os detalhes desconhecidos.
Para encontrar a derivada da função dada na direção, vamos calcular o gradiente da função dada no ponto dado.
Em seguida, calcularemos o produto ponto com o vetor de unidade calculado.
Pela descrição do problema, a fórmula é:
Onde é uma constante. Iremos utilizar o ponto:
Para encontrar o valor dessa constante.
Passo 2
Então vamos para a letra a):
A gente sabe que:
Então:
Com a fórmula poderemos encontrar a derivada direcional, que nos dirá a taxa de variação. Então vamos encontrar o vetor que liga o ponto ao ponto .
Agora a gente precisa do vetor unitário desse vetor :
Agora a gente calcular a derivada direcional na direção do vetor :
Agora a gente vai calcular o gradiente de :
Então temos:
Então a derivada direcional é:
Realizando o produto vetorial:
Temos então:
Passo 3
Agora a gente vai para a letra b)
Da letra a) a gente sabe:
Que pode se escrita da seguinte forma:
O vetor posição do ponto é . O vetor que aponta de para origem é . Então, para o vetor o aumento de é nessa direção.
Resposta
- Ver o desenvolvimento.