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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 10

Mostre que, para todo x > 0 , tem-se

  1. cos x > 1 - (x^2)/(2)
  2. sen x > x - (x^3)/(3 !)

Passo 1

  1. Vamos considerar a expressão f (x) = cos x - (1 - (x^2)/(2))

    2. Temos que:

    f (0) = cos 0 - (1 - (0^2)/(2)) = 1 - 1 = 0

    Vamos calcular f^' (x) :

    f^' (x) = (cos x - (1 - (x^2)/(2)))^' = - sen x - (0 - (2 x)/(2)) = - sen x + x

    Agora vamos analisar o sinal de f^' (x) :

    f^' (x) > 0 para x > 0 , assim f (x) é estritamente crescente em [0 , + oo[ .

    Assim temos que:

    f (x) > 0 -> cos x - (1 - (x^2)/(2)) > 0 -> cos x > 1 - (x^2)/(2)

    Passo 2

  2. Vamos considerar a expressão g (x) = sen x - (x - (x^3)/(3 !))

Temos que:

g (0) = sen 0 - (0 - (0^3)/(3 !)) = 0

Vamos calcular g (x) :

g^' (x) = (sen x - (x - (x^3)/(6)))^' = cos x - (1 - (3 x^2)/(6)) = cos x - 1 + (x^2)/(2)

Agora vamos analisar o sinal de g^' (x) :

g^' (x) > 0 para x > 0 , assim g (x) é estritamente crescente em [0 , + oo[ .

Assim temos que:

g (x) > 0 -> sen x - (x - (x^3)/(3 !)) > 0 -> sen x > x - (x^3)/(3 !)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que, para todo x0 , tem-se sen ⁡ xx - x 3 3 ! + x 5 5 ! 0sen ⁡ x - x - x 3 3 !x 5 5 ! (Sugestão: Utilize o item (b) do Exercício 10 e o item (a) acima.)
Prove que, para todo x0 , tem-see^xx + 1 e^x1 + x + (x^2)/(2)
Calcule.underset(x - 0 ⁺)(lim) x e^((1)/(x)) ⁺
Calcule.underset(x - + oo)(lim) (e^x)/(ln x)