Um objeto com massa é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda presa ao objeto. Se a corda faz um ângulo com o plano, então a intensidade da força é

Onde é uma constante positiva chamada coeficiente de atrito e . Mostre que é minimizada quando .

Derivando a equação da força:

Igualando a zero para que encontremos os pontos críticos:

Para continuarmos deveremos aplicar o método do invervalo fechado:

O Método do Intervalo Fechado - Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a,b]:

1-      Encontre os valores de f  nos extremos do intervalo.

2-      Encontre os valores de f  nos números críticos de f em [a,b].

3-      O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Agora, necessitamos aplicar o teorema do intervalo fechado, então, precisamos calcular o valor da força quando . Substituindo isso na fórmula de :

Arrumando:

Então, esse é o valor de quando , beleza? Falta só saber quanto é .

Bom, então, vamos descobrir o valor de . Para isso, vamos montar um triângulo retângulo com as informações que sabemos sobre . Sabemos que , então podemos desenhar o seguinte triângulo retângulo:

Onde é a hipotenusa desse triângulo, que achamos usando Pitágoras, ok?

Daí, tiramos que

Então, substituindo esse valor na que achamos no passo anterior

Agora sim, esse será nosso valor da quando .

Você pode reparar que aqui , então, nosso termo:

Opa, ele será um valor positivo, mas menor que 1. E quando multiplicamos algo por um valor entre e , o produto é um número menor. No nosso caso:

Além disso, geralmente, os valores de coeficiente de atrito são maiores que 1, então:

Beleza? Vamos usar essas análises no passo seguinte.

Agora, pelo teorema do intervalo fechado, necessitamos calcular e

Opa, e como vimos anteriormente:

Então, quando temos que e este é o menor valor possível para .

Prontinho!! Provado. 😊