Um objeto com massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda presa ao objeto. Se a corda faz um ângulo theta com o plano, então a intensidade da força é

F = (μmg) / (μ * sen(θ) + cos(θ))

Onde mu é uma constante positiva chamada coeficiente de atrito e 0 ≤ θ ≤ π/2 . Mostre que F é minimizada quando tan(θ) = μ .

Passo 1

Faala ae!! Beleza? Vamos usar os conceitos de máximo e mínimo aqui, beleza?

Os pontos críticos de uma função são os valores de x nos quais a derivada da função é igual a zero ou não está definida.

Então, seja P = m g . Agora, calcularemos a derivada de F em relação ao ângulo θ e igualaremos a zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 2

Derivando a equação da força:

F = μ P μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ

d F d θ = - μ P ⋅ μ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ 2

Igualando a zero para que encontremos os pontos críticos:

- μ P ⋅ μ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 = 0

μ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ = 0

μ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ = tan ⁡ θ

Para continuarmos deveremos aplicar o método do invervalo fechado:

O Método do Intervalo Fechado - Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a,b]:

1-      Encontre os valores de f  nos extremos do intervalo.

2-      Encontre os valores de f  nos números críticos de f em [a,b].

3-      O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Passo 3

Agora, necessitamos aplicar o teorema do intervalo fechado, então, precisamos calcular o valor da força quando μ = tan ⁡ θ . Substituindo isso na fórmula de F :

F = tan ⁡ θ P tan ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ

Arrumando:

F = tan ⁡ θ P sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ + cos ⁡ θ

F = tan ⁡ θ P sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ

F = tan ⁡ θ P ⋅ cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

F = P sin ⁡ θ  

Então, esse é o valor de F quando μ = tan ⁡ θ , beleza? Falta só saber quanto é sin ⁡ θ .

Passo 4

Bom, então, vamos descobrir o valor de sin ⁡ θ . Para isso, vamos montar um triângulo retângulo com as informações que sabemos sobre θ . Sabemos que tan ⁡ θ = μ , então podemos desenhar o seguinte triângulo retângulo:

Onde μ 2 + 1 é a hipotenusa desse triângulo, que achamos usando Pitágoras, ok?

Daí, tiramos que

sin ⁡ θ = μ μ 2 + 1

Então, substituindo esse valor na F que achamos no passo anterior

F = μ μ 2 + 1 P

Agora sim, esse será nosso valor da F quando μ = tan ⁡ θ .

Você pode reparar que aqui 0 < sin ⁡ θ < 1 , então, nosso termo:

0 < μ μ 2 + 1 < 1

Opa, ele será um valor positivo, mas menor que 1. E quando multiplicamos algo por um valor entre 0 e 1 , o produto é um número menor. No nosso caso:

μ μ 2 + 1 P < P

Além disso, geralmente, os valores de coeficiente de atrito são maiores que 1, então:

P < μ P

Beleza? Vamos usar essas análises no passo seguinte.

Passo 5

Agora, pelo teorema do intervalo fechado, necessitamos calcular F ( 0 ) e F ( π / 2 )

F 0 = μ P

F ( π / 2 ) = P

Opa, e como vimos anteriormente:

μ μ 2 + 1 P < P < μ P

Então, quando μ = tan ⁡ θ temos que F = μ μ 2 + 1 m g e este é o menor valor possível para F .

Prontinho!! Provado. 😊

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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