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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 2.17 - Ex. 21

Seja varphi (x) = 1 // 2 ( a^x + a^(- x) ) e psi (x) = 1 // 2 ( a^x - a^(- x) ) . Demonstrar que

varphi (x + y) = varphi (x) * varphi (y) + psi (x) * psi ( y )

psi (x + y) = varphi (x) * psi (y) + varphi (y) * psi ( x )

Passo 1

Galera, a primeira coisa que devemos fazer é realizar esses produtos de funções para tentar chegar no resultado desejado.

varphi (x) * varphi (y) + psi (x) * psi ( y )

= (1)/(2) (a^x + a^(- x)) * (1)/(2) (a^y + a^(- y)) + (1)/(2) (a^x - a^(- x)) * (1)/(2) (a^y - a^(- y))

= (1)/(4) (a^x a^y + a^x a^(- y) + a^(- x) a^y + a^(- x) a^(- y)) + (1)/(4) ( a^x a^y - a^x a^(- y) - a^(- x) a^y - a^(- x) a^(- y) )

= (1)/(4) (a^(x + y) + a^(x - y) + a^(y - x) + a^(- x - y) + a^(x + y) - a^(x - y) - a^(y - x) + a^(- x - y))

= (1)/(4) (2 a^(x + y) + 2 a^(- x - y))

= (1)/(2) (a^(x + y) + a^(- x - y)) = varphi ( x + y )

Passo 2

Vamos agora verificar a segunda expressão!

varphi (x) * psi (y) + varphi (y) * psi ( x )

= (1)/(2) (a^x + a^(- x)) * (1)/(2) (a^y - a^(- y)) + (1)/(2) (a^x - a^(- x)) * (1)/(2) (a^y + a^(- y))

= (1)/(4) (a^(x + y) - a^(x - y) + a^(- x + y) - a^(- x - y) + a^(x + y) + a^(x - y) - a^(y - x) - a^(- x - y))

= (1)/(4) (2 a^(x + y) - 2 a^(- x - y))

= (1)/(2) (a^(x + y) - a^(- (x + y))) = psi ( x + y )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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